Размеренность и базис векторного пространства

Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:

Число называется собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору .

Можно записать в матричной форме:

, где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .

Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственное значение линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:

или , или , откуда находим: , или

, или .

Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Аналогично, вектор .

Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.