Условия существования преобразования Лапласа. Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа

Пусть - некоторый сигнал, определенный при >0 и тождественно равный нулю при отрицательном значении времени. Преобразование Лапласа F(p) этого сигнала задается интегралом

. (1.18)

Сигнал f(t) называется оригиналом, а функция F(p) – его изображением.

Условие существования интеграла (1.18) заключается в следующем: сигнал f(t) должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при t>0, т. е. Должен удовлетворять неравенству

, (1.19)

где к, а – положительные числа.

При невыполнении этого неравенства функция F(p) существует в том смысле, что интеграл (1.61) абсолютно сходится для всех комплексных чисел р, у которых >а. Число а называется абсциссой абсолютной сходимости.

Переменная р может быть отождествлена с комплексной частотой . В случае чисто мнимой комплексной частоты, когда , формула (1.18) переходит в формулу определяющую Фурье-преобразование сигнала, обращающегося в ноль при <0. Таким образом, преобразование Лапласа должно рассматриваться как обобщенное преобразование Фурье на случай комплексных частот.

Подобно тому, как это делается в теории преобразования Фурье, можно, зная изображение восстановить оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье следует выполнить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной к комплексному аргументу + . На плоскости комплексной частоты интегрирования принято проводить по неограниченно протяжённой вертикальной оси, располагающейся правее абсциссы абсолютной сходимости. Поскольку при дифференциал , то формула обратного преобразования Лапласа приобретает вид

(1.20)

В теории функций комплексного переменного показывается, что изображения по Лапласу обладают “хорошими” свойствами с точки зрения гладкости; такие изображения во всех точках комплексной плоскости , за исключением счетного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями.

На практике широко используются таблицы преобразований Лапласа, в которых собраны сведения о соответствии между оригиналами и изображениями.