Задачи к главе III

22. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме посредством элементарных преобразований:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

23. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме методом нахождения делителей миноров:

а)

б)

в)

24. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме используя комбинированный метод:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

25. Выяснить, эквивалентны ли между собой следующие матрицы:

а)

б)

в)

26. Найти элементарные делители следующих матриц:

а)

б)

в)

27. Найти нормальную диагональную форму квадратной матрицы, если известны её элементарные делители, ранг и порядок :

а)

б)

в)

28. Выяснить, являются ли подобными между собой следующие матрицы:

а)

б)

в)

г)

29.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

30. Выяснить, являются ли следующие матрицы подобными некоторым диагональным матрицам в полях рациональных, вещественных и комплексных чисел:

а)

б)

в)

г)

31. Найти минимальные многочлены следующих матриц:

а)

б)

ОТВЕТЫ.

1.

а) да;

б) нет;

в) да;

г) да;

д) нет.

2.

а) да;

б) нет;

в) да;

г) да;

д) нет;

е) нет;

ж) да.

3.

а) нет;

б) да;

в) да;

г) нет;

д) да;

е) нет;

ж) да.

4.

а) ;

б) ;

в) .

5.

а) ;

б) .

6.

а) ;

б) ;

в) .

7.

а) нет;

б) да,

в) да,

г) нет;

д) да,

е) да,

8. .

9.

а) нет;

б) да;

в) да.

10. Диагональная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда каждый диагональный элемент равен .

11.

а)

б)

в)

12.

а) нет;

б) да;

в) нет;

г) да.

13.

а)

б) ни при каком

14.

а)

б)

в)

15.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

16.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

17.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

18. Ответ определяется неоднозначно.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

19. Ответ определяется неоднозначно.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

20.

а) положительно определённая;

б) не является знакоопределённой;

в) не является знакоопределённой;

г) положительно определённая;

д) отрицательно определённая;

е) не является знакоопределённой.

21.

а) для любого ;

б) ни при каком значении ;

в) ;

г) ;

д) ни при каком значении ;

е) ;

ж) .

22.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

23.

а)

б)

в)

24.

а)

б)

в) где порядок данной матрицы.

г)

д)

е)

25.

а) эквивалентны;

б) не эквивалентны;

в) матрицы и эквивалентны между собой и не эквивалентны матрице .

26.

а)

б)

в) элементарных делителей не существует.

27.

а)

б)

в)

28.

а) подобны;

б) подобны;

в) матрицы и подобны между собой, но не подобны матрице ;

г) матрицы и подобны между собой, но не подобны матрице .

29.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

30.

а) в поле рациональных чисел подобна матрице

б) в поле вещественных чисел подобна матрице

в) в поле комплексных чисел подобна матрице

г) не подобна диагональной матрице ни в каком поле.

31.

а)

б)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Апатенок Р. Ф., Маркина Л. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 1990.

2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для ВУЗов. - М.: Физматлит, 2001.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.

4. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984.

5. Шипачёв В. С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2002.

СОДЕРЖАНИЕ.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ

И УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ. 3

§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3

§1.2. Изоморфизм унитарных пространств. 13

§1.3. Линейные функции. 14

§1.4. Сопряжённые операторы. 16

§1.5. Нормальные операторы. 20

§1.6. Унитарные операторы. 22

§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы. 24

§1.8. Кососимметрические операторы. 25

§1.9. Неотрицательные линейные операторы. 26

§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве. 28

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I. 34

ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. 39

§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 39

§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям. 48

§2.3. Закон инерции. 52

§2.4. Распадающиеся квадратичные формы. 57

§2.5. Положительно определенные формы. 59

§2.6. Пары форм. 65

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II. 67

ГЛАВА 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ. 70

§3.1. матрицы, их эквивалентность. 70

§3.2. Унимодулярные -матрицы. Второй

критерий эквивалентности. 79

§3.3. Матричные многочлены. 83

§3.4. Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью

их характеристических матриц. 86

§ 3.5. Жорданова нормальная форма. 89

§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме. 97

§ 3.7. Минимальный многочлен. 100

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III. 106

ОТВЕТЫ. 112

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 122

СОДЕРЖАНИЕ. 123

Дмитрий Иванович Иванов

АЛГЕБРА

(часть II)

Учебно-методическое пособие