Эрмитовы (самосопряжённые) операторы

Линейный оператор унитарного пространства называется эрмитовым (самосопряжённым), если

,

т. е. если линейный оператор совпадает со своим сопряжённым .

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть , то в матричной форме условие того, что оператор является эрмитовым, выглядит следующим образом: . Такие матрицы называются эрмитовыми.

В действительном случае имеем: , т. е. матрица совпадает со своей транспонированной. Такие матрицы называются симметрическими. Поэтому в евклидовых пространствах эрмитовы операторы называют симметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об эрмитовых операторах). Матрица эрмитова оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как эрмитов оператор является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, существует ортонормированный базис, в котором он задаётся диагональной матрицей. Докажем, что собственные значения действительны. Пусть , тогда

.

В силу того, что , имеем , а это возможно лишь в случае . □