Указания к решению задачи. Поведение случайных величин, которые составляют заданный гидрологический ряд наблюдений, можно охарактеризовать тремя параметрами:

Поведение случайных величин, которые составляют заданный гидрологический ряд наблюдений, можно охарактеризовать тремя параметрами:

- средним арифметическим значением;

- коэффициентом вариации;

- коэффициентом асимметрии.

Среднее арифметическое значение ряда:

(1)

где: Q_i – максимальный расход весеннего половодья, м³/с;

n – количество членов ряда.

Коэффициенты вариации и асимметрии определяются в соответствии с СП 33-101-2003 методами моментов и наибольшего правдоподобия.

1. Метод моментов. Коэффициент вариации С_v характеризует меру изменчивости членов ряда относительно среднего арифметического значения и определяется по формуле (при С_v < 0.6):

, (2)

где K_i – частное от деления i -го члена ряда на среднее арифметическое этого ряда, т.е. .

Коэффициент асимметрии С_s характеризует отличие по величине и количеству положительных (больше средних) и отрицательных (меньше средних) отклонений от среднего арифметического значения ряда. Для симметричных рядов (нормальное распределение ежегодных вероятностей превышения значений ряда) эти отклонения повторяются одинаково часто, поэтому C_s = 0. Для несимметричных рядов C_s ≠ 0, а коэффициент асимметрии определяется по формуле (при С_s < 1,0):

(3)

Расчеты по определению статистических характеристик сводятся в табл. 1. В верхней строке этой таблицы указана точность, с которой необходимо определить соответствующие величины.

Для проверки правильности определения среднего значения сравниваем суммы положительных и отрицательных значений ∑(K_i - 1). Они должны отличаться один от другого не более чем на 5%.

2. Метод наибольшего правдоподобия. Для оценки коэффициентов вариации и асимметрии этим методом необходимо предварительно определить величины статистик:

(4)

Результаты расчета, необходимые для определения этих статистик, сводятся в табл. 1. По рассчитанным значениям статистик по одной из номограмм (прил. 2) определяют характеристики ряда: C_v, C_s/C_v и C_s.

3. После определения параметров статистического ряда этими методами, по таблицам прил. 3 находятся ординаты (модульные коэффициенты) теоретической (аналитической) кривой трехпараметрического гамма-распределения ежегодных вероятностей превышения значений гидрологической характеристики или кривой обеспеченности. По ним вычисляем максимальные расходы воды заданной обеспеченности Q_р% = К_р% * Q _ср (табл. 2).

4. В задаче требуется построить эмпирическую и теоретические кривые обеспеченности.

Эмпирическую обеспеченность или ежегодную вероятность превышения гидрологических характеристик определяют по формуле:

, % (5)

где m – порядковый номер члена ряда, выстроенного в убывающем порядке (табл. 1).

Результаты расчета эмпирической обеспеченности приведены в табл. 1.

5. На клетчатке вероятности (рис. 1) по данным табл.1 и 2 строим:

- эмпирическую кривую обеспеченности;

- теоретическую кривую обеспеченности (метод моментов);

- теоретическую кривую обеспеченности (метод наибольшего правдоподобия).

Пример

Исходные данные:

Ряд наблюдений за максимальным расходом воды в реке А продолжительностью n =31 год для выбранного варианта (см. прил. 1).

1. Вычислим статистические характеристики ряда наблюдений, предварительно выполнив расчеты по форме табл.1

= 11378 / 31 = 367 м³/с.

+ ∑ (К_i - 1) = 3.26

- ∑ (K_i - 1) = - 3.25

Суммы положительных и отрицательных значений ∑(K_i – 1) отличаются менее чем на 5%.

а) метод моментов:

= 0.26

= = 0.059

б) метод наибольшего правдоподобия:

= - 0,016

= 0,015

По номограмме (прил. 4) определим:

C_v = 0.26, C_s / C_v = 0.4, C_s = (C_s/C_v) * C_v = 0.4 * 0.26 = 0.1

2. По таблицам прил. 4 определим ординаты теоретических кривых обеспеченности и величины максимальных расходов воды разной вероятности превышения (табл. 2). При C_s / C_v < 0.5 для определения ординат кривых обеспеченности используется таблица прил. 3 при C_s / C_v = 0.5.

Таблица 1

m	Qi в убывав. порядке	Ki	Ki -1	(Ki -1)2	(Ki -1)3	p, %	lg Ki	Ki *lg Ki
	Точность	0,01	0,01	0,001	0,0001	0,1	0,001	0,001
… …	…. …	1,57 1,43 … … 0,54 0,50	0,57 0,43 … … -0,46 -0,50	0,325 0,185 … … 0,212 0,250	0,1852 0,0795 … … -0,0973 -0,1250	3,1 6,3 … … 93,8 96,9	0,196 0,155 … … -0,268 -0,301	0,308 0,222 … … -0,145 -0,150
	∑ Qi = =11378		+ 3.26 - 3.25	∑ = =2.028	∑= =+0.0291		∑= = -0.475	∑= =0.451

Таблица 2

Ординаты теоретической кривой обеспеченности

максимальных расходов воды

а) метод моментов (Q _ср = 367 м³/с, C_v = 0,26, C_s = 0,059)

p, %	0,1
Кр %	1,80	1,60	1,41	1,32	1,16	1,0	0,83	0,59
Qр %, м3/с

б) метод наибольшего правдоподобия (Q _ср = 367 м³/с, C_v = 0.26, C_s = 0,1)

p,%	0,1
Кр%	1,80	1,60	1,42	1,33	1,17	0,99	0,84	0,60
Qр%, м3/с

3. На клетчатках вероятности (рис.1) по данным табл.1 и 2 строим (рис. 1):

- эмпирическую кривую обеспеченности;

- теоретическую кривую обеспеченности (метод моментов);

- теоретическую кривую обеспеченности (метод наибольшего правдоподобия).

Q, м³/с

р, %

Рис.1 Кривые обеспеченности: (1 – эмпирическая, 2 – метод моментов, 3 – метод наибольшего правдоподобия).

5. В качестве расчетного максимального расхода принимаем наибольшее значение из вычисленных методами моментов и наибольшего правдоподобия. Таким образом, Q _1% = 587 м³/c.