Проектирование на три координатные плоскости

Пусть поверхность задана (неявно) уравнением ;

, , =

.

Пусть - углы, которые образует нормаль с осями координат. Тогда орт имеет координаты: . Так как , то

и

= .

Рассмотрим отдельные слагаемые: . Если поверхность описывается уравнением , а поле в поверхностном интеграле берётся в точке , для любой его компоненты координата выражается через и , , , и = .

Знак (+) соответствует острому углу между нормалью и осью (cosγ > 0), знак (–) – тупому углу между нормалью и осью (cosγ < 0).

Аналогично,

,

,

и окончательно имеем:

.

1). Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов нормали .

2). Вычисление потока векторного поля сводится к вычислению трёх двойных интегралов при условии, что поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Если это не имеет места, поверхность нужно разбить на однозначно проектирующиеся участки.

3). Указанная формула устанавливает связь между потоком и поверхностным интегралом 2-го рода

+ .