Эллипсоид

Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с различными плоскостями. Рассмотрим подробнее сущность этого приема исследования поверхности на примере уравнения

, (54)

где положительные действительные числа.

Рассмотрим вначале линии пересечения этой поверхности с горизонтальными плоскостями , где . В сечении, в общем случае, образуется кривая, определяемая уравнениями

. (1)

Заметим, что при любых значениях и . Следовательно, если , т.е. , то первое уравнение не выполняется ни при каких значениях и . Это значит, что горизонтальные плоскости , где , не пересекают данной поверхности (в сечении образуются мнимые кривые).

Если , то и перове уравнение из (1) справедливо только при . Следовательно, в сечениях и получим точки и .

Наконец, если , то . Тогда в сечении горизонтальной плоскостью , где , получим линию

, (2)

где .

Уравнение (2) на плоскости опеделяет эллипс с полуосями и . Следовательно, на горизонтальной плоскости , где получим эллипс с теми же полуосями. Заметим, что наибольшие полуоси, равные и , образуются при . При увеличении от нуля до полуоси эллипса уменьшаются до нулевых размеров.

Итак, в сечениях горизонтальными плоскостями при образуются эллипсы, при эллипсы вырождаются в точки и , при плоскости не пересекают поверхность.

	Рис.32

Так как уравнение (54) обладает симметрией относительно переменных и , то в сечениях вертикальными плоскостями , где , и , где , так же образуются эллипсы или точки.

В остальных случаях вертикальные плоскости не пересекают поверхность.

Полученные сечения позволяют построить искомую поверхность (рис.32), называемую эллипсоидом.

Заметим, что эллипсоид при превращается в сферу.