Линейные опреции над векторами

Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

ложение векторов. Суммой векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (рис.5).

	N		Q

	P

	M

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма (рис.6). Из определения суммы векторов следует, что сложение векторов подчиняется переместительному закону . Действительно, пусть и есть параллелограмм. Тогда и , . Отсюда .

Понятие суммы векторов, введенное для двух векторов, можно обобщить на сумму любого конечного числа слагаемых. Например, если заданы три вектора и , то суммой этих векторов называется вектор , определяемый по правилу . Аналогично, если заданы векторы , где , , то суммой этих векторов называется вектор.

.

P

N

Покажем, что сложение векторов подчиняется сочетательному закону (рис.7).

	M				Q

Пусть . Тогда , . Следовательно, .

Разность векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , что . Для построения вектора по данным векторам и можно воспользоваться одним из способов, сущность которых пояснена на рис.8 и рис.9.

Умножение вектора на число. Пусть даны вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и то же направление, что и вектор , если , и противоположное направление, если . Если , то .

Следствие 1. Из определения умножения вектора на число следует, что если , то векторы и коллинеарны. Очевидно, что если и коллинеарные векторы, то . Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда место имеет равенство .

Следствие 2. Противоположный вектор - можно рассматривать как произведение вектора на =-1, т.е. .

Следствие 3. Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор , коллинеарный , направленный, как , и имеющий длину, равную единице. Тогда, согласно операции умножения вектора на число, следует, что

(33)

Умножение вектора на число подчиняется распределительным законам , и сочетательному закону .

Покажем, например, справедливость первого из распределительных законов. Построим на векторах параллелограмм , на векторах , параллелограмм (рис10). Из подобия этих параллелограммов следует, что .

	N’		P’

		Q’

Аналогично можно убедиться и в справедливости оставшихся законов.

ПРИМЕР 12.1. Точка является центром тяжести треугольника . Доказать, что .

Решение. Известно, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Обозначим через середину стороны и построим вектор . Тогда, согласно операции умножения вектора на скаляр и свойства медианы, получим . Построим на векторах и параллелограмм (рис. 11).

		B
			C
	A

Тогда, согласно операции сложения векторов, . Тогда является точкой пересечения диагоналей этого параллелограмма.

Следовательно, или . Итак, . Отсюда .