Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Человеческое познание его сферы и границы. 30 страница



именно тот факт, что в нашем опыте нам приходится встречаться со смертью отдельных людей, послужил причиной нашей веры в то, что все люди смертны. Но если наша вера в смертность всех людей оправдывается, то это как общее правило, происходит потому, что определенные виды частных фактов служат доказательством общих законов. А поскольку дедуктивная логика не знает никакого подобного принципа, постольку всякий принцип, который должен оправдывать вывод от частного к общему, должен быть законом природы, то есть утверждением, что действительная вселенная имеет определенный характер, который она могла бы и не иметь. Я попытаюсь исследовать такой принцип или принципы в шестой части этой книги; в пятой же части я буду только отстаивать ту мысль, что индукция через простое перечисление не является таким принципом, и если не подвергнуть ее жестким ограничениям, то можно доказать, что она незаконна.

В науке мы выводим не только законы, но также и частные факты. Если мы читаем в газете, что король умер, мы делаем вывод, что он мертв; если оказывается, что мы должны совершить длинное путешествие по железной дороге без возможности поесть в дороге, то мы делаем вывод, что нам придется поголодать. Все такие выводы могут быть оправданы только в том случае, если есть возможность установить законы. Если бы не было общих законов, то знание каждого человека было бы ограничено только его личным опытом. Больше необходимости в том, чтобы законы существовали, чем в том, чтобы их знали. Если за А всегда следует В и если какое-либо животное, увидев А, ожидает В, то об этом животном можно сказать, что оно знает о наступлении B без знания общего закона. Но хотя некоторое знание о еще не воспринятых фактах и может быть получено таким путем, все-таки достигнуть многого без знания общих законов невозможно. Такие законы в общем устанавливают вероятность (в одном смысле) и сами только вероятны (в другом смысле). Например, вероятно (в одном смысле), что если вы больны раком, то вероятно (в другом смысле), что вы умрете. Это положение вещей делает очевидным, что мы не можем достигнуть понимания научного метода без предварительного исследования различных видов вероятности.

Но хотя такое исследование и необходимо, я все-таки не думаю, что вероятность имеет такое большое значение, какое ей придают некоторые авторы. Значение, которое она имеет, возникает двумя путями. С одной стороны, нам нужны в качестве предпосылок науки не только данные, полученные благодаря восприятию и памяти, но также и определенные принципы синтетического вывода, которые не могут быть установлены дедуктивной логикой или аргументами, полученными из опыта, поскольку они предполагаются во всяком выводе от фактов опыта к другим фактам или законам. Можно допустить, что эти посылки не вполне достоверны, то есть что они не обладают наивысшей "степенью правдоподобия". Одной из задач нашего анализа этой формы вероятности будет показать вопреки противоположному мнению Кейнса, что данные и посылки вывода могут быть недостоверными. Это — один путь, на котором теория вероятности оказывается нужной, но есть также и другой. Случается, что мы часто знаем (в некотором смысле слова "знаем"), что что-то происходит обычно, но, возможно, не всегда, например, что за молнией следует гром. В этом случае мы имеем класс случаев А, большинство из которых, как мы имеем основание думать, принадлежит к классу В. (В нашем примере А суть периоды времени, наступающие сейчас же после молнии, а В — периоды времени, когда слышится гром.) В таких условиях, когда дан случай класса А, относительно которого мы не знаем, является ли он случаем класса B, мы имеем право сказать, что он, "вероятно", является членом класса В. Здесь слово "вероятно" имеет не тот смысл, который ему придается, когда мы говорим о степенях правдоподобия, а совсем другой, который оно имеет в математической теории вероятности.

На основании этих соображений, а также и потому, что логика вероятности гораздо менее полна и гораздо менее бесспорна, чем элементарная логика, необходимо развить теорию вероятности подробнее и исследовать различные спорные вопросы ее интерпретации. Следует помнить, что все обсуждение вопроса о вероятности играет роль предварительного введения к исследованию постулатов научного вывода.

ГЛАВА 1.

ВИДЫ ВЕРОЯТНОСТИ.

Попытки создать логику вероятности были многочисленны, но против большинства из них выдвигались роковые для них возражения. Одной из причин ошибочности этих теорий было то, что они не различали — или, скорее, намеренно смешивали — в корне различные понятия, которые в обычном словоупотреблении имеют одинаковое право называться словом "вероятность". В этой главе я намереваюсь провести предварительное и дискурсивное исследование этих разных понятий, откладывая до следующих глав попытку достичь строгих определений.

Первым весьма значительным фактом, который мы должны взять в расчет, является существование математической теории вероятности. Среди математиков, занимающихся этой теорией, существует весьма полное согласие в отношении всего того, что может быть выражено в математических символах, но вместе с тем полностью отсутствует согласие в отношении интерпретации математических формул. При таких обстоятельствах самым простым путем является перечисление аксиом, из которых эта теория может быть выведена, и принятие решения, что любое понятие, которое удовлетворяет требованиям этих аксиом, имеет с математической точки зрения одинаковое право называться словом "вероятность". Если имеется много таких понятий и если мы решаем сделать выбор среди них, то мотивы нашего выбора должны лежать вне математики.

Есть одно очень простое понятие, которое удовлетворяет требованиям аксиом теории вероятности и которое по другим основаниям имеет преимущество перед другими. Если дан конечный класс В, имеющий n членов, и если известно, что количество m из них принадлежит к какому-то другому классу A, то мы говорим, что если выбрать наудачу какой-либо член класса В, то шанс, что он будет принадлежать к классу А, будет равен числу m /n. Вопрос о том, соответствует ли это определение тому употреблению, которое мы хотим сделать из математической теории вероятности, мы будем рассматривать позже; если оно не соответствует, мы должны будем поискать какую-либо другую интерпретацию математической вероятности.

Следует иметь в виду, что здесь не встает вопрос об истинности или ложности. Любое понятие, которое удовлетворяет требованиям аксиом, может рассматриваться как понятие, которое само есть математическая вероятность. Действительно, возможно, что в одном контексте может быть удобным принять одну интерпретацию, а в другом — другую, так как удобство является единственным руководящим мотивом. Такова обычная ситуация при интерпретации математической теории. Например, как мы видели, вся арифметика может быть выведена из пяти аксиом, перечисленных Пеано, и, следовательно, если все, чего мы хотим от чисел, есть только то, что они должны повиноваться правилам арифметики, то мы можем определить, как ряд натуральных чисел, любой ряд, удовлетворяющий пяти аксиомам Пеано. Однако эти аксиомы удовлетворяются любой прогрессией, и, в частности, рядом натуральных чисел, начинающимся не с 0, а со 100, 1000 или с любого другого конечного целого числа. Только в том случае, если мы хотим, чтобы наши числа служили для перечисления, а не только для арифметики, мы получаем основание для выбора ряда, начинающегося с 0. Точно так же обстоит дело и в математической теории вероятности, где избираемая интерпретация может зависеть от той цели, которую мы имеем в виду.

Слово "вероятность" часто употребляется так, что не допускает или по крайней мере не допускает явно своей интерпретации как отношения чисел двух ограниченных классов. Мы можем сказать: "Вероятно, Зороастр существовал", "Вероятно, теория тяготения Эйнштейна лучше, чем теория Ньютона", "Вероятно, все люди смертны". Это не следует смешивать с предложением: "Все люди, вероятно, смертям". Но мы могли бы утверждать, что в этих случаях имеются определенные показания, о которых известно, что они в громадном большинстве случаев сочетаются с определенного рода выводами; таким путем теоретически и здесь можно было бы применить определение вероятности как отношения чисел двух классов. Следовательно, возможно, что примеры вроде вышеприведенных не предполагают нового значения "вероятности".

Есть, однако, два афоризма, которые все мы склонны принимать без особой проверки, но которые, если их принять, предполагают такую интерпретацию "вероятности", которую, по-видимому, нельзя примирить с вышеприведенными определениями. Первым из этих афоризмов является изречение епископа Батлера, что "вероятность есть руководитель жизни". Вторым является положение, что все наше знание только вероятно, на чем особенно настаивал Рейхенбах.

Изречение епископа Батлера, очевидно, имеет силу в соответствии с одной очень распространенной интерпретацией "вероятности". Когда, как это обычно бывает, я не уверен в том, что должно произойти, но должен действовать в соответствии с той или иной гипотезой, мне обычно и вполне правильно советуют выбирать наиболее вероятную гипотезу и всегда правильно советуют учитывать степень вероятности при принятии решения. Но существует очень важное логическое различие между вероятностью этого рода и математической вероятностью, а именно то различие, что последняя касается пропозициональных функций, а первая — высказываний. Когда я говорю, что шанс, что монета выпадет лицевой стороной, равен половине, то это — отношение между двумя пропозициональными функциями "х есть бросание монеты" и "х есть бросание монеты, которая выпадает лицевой стороной". То есть высказываний, содержащих неопределенные переменные, например "А есть человек", которые становятся высказываниями, когда мы приписываем переменной (в приведенном примере переменной А) какое-либо

значение. Если мне приходится делать вывод, что в каком-либо отдельном случае шанс выпадения лицевой стороной равен 1/2, то я должен сказать, что рассматриваю этот частный случай только как отдельный пример. Если бы я мог вникнуть во все его частности, я мог бы теоретически решить, упадет ли монета лицевой или оборотной стороной, и тогда я больше уже не был бы в сфере вероятности. Когда мы применяем вероятность в качестве руководителя наших действий, то это происходит потому, что наше знание недостаточно; мы знаем, что рассматриваемое событие является членом класса событий В, и мы можем знать, какая часть членов этого класса принадлежит к некоему классу А, которым мы интересуемся. Но эта часть будет изменяться в соответствии с нашим выбором класса В; мы, таким образом, получим различные вероятности, одинаково ценные с математической точки зрения. Для того чтобы вероятность могла стать руководителем практики, мы должны иметь какой-то способ выбора одной вероятности как действительной вероятности. Если мы не можем этого сделать, то все различные вероятности остаются одинаково ценными, и мы останемся без руководства.

Возьмем пример, когда каждый здравомыслящий человек руководствуется вероятностью. Я имею в виду страхование жизни. Я выясняю условия, на которых некая страховая компания согласна застраховать мою жизнь, и должен решить, будет ли страхование на этих условиях выгодной сделкой именно для меня, а не для страхования вообще.

Моя задача отличается от задачи страховой компании и является гораздо более трудной. Страховая компания не интересуется моим индивидуальным случаем: она предлагает страхование всем членам определенного класса и нуждается только в учете статистических средних чисел. Но я могу верить, что у меня есть особые основания думать, что я проживу долго или что я похож на того шотландца, который умер на другой день после уплаты последнего страхового взноса, успев сказать с последним вздохом: "Я всегда был счастливым парнем". Тут имеет значение каждое обстоятельство в моем здоровье и в моем образе жизни, но некоторые из этих обстоятельств могут быть настолько необычными, что я не смогу получить сколько-нибудь надежной помощи от статистики. Наконец, я решаю проконсультироваться с врачом, который, задав мне несколько вопросов, благожелательно говорит: "О, я думаю, что вы проживете до 90 лет". Я с сожалением сознаю не только то, что его суждение поспешно и не научно, но также и то, что он хочет сказать мне что-то приятное. Вероятность, к которой я в конце концов прихожу, является, таким образом, чем-то в высшей степени неопределенным и совершенно не поддающимся числовому измерению; но именно на основании этой неопределенной вероятности я, как последователь епископа Батлера, и должен действовать.

Вероятность, являющаяся руководителем жизни, не относится к математическому виду вероятности не только потому, что она относится не к произвольным данным, а ко всем данным, которые с самого начала имеют отношение к вопросу, но также и потому, что она должна учитывать нечто целиком лежащее вне сферы математической вероятности, что можно назвать "внутренне присущей сомнительностью". Именно это и имеется в виду, когда говорят, что все наше познание только вероятно. Возьмем, например, воспоминание о далеком прошлом, которое стало настолько забытым, что мы не можем больше относиться к нему с доверием, звезду, настолько тусклую, что мы не уверены в том, действительно ли мы ее видим, или шум, настолько слабый, что мы думаем, что он нам только кажется. Это крайние случаи, но в меньшей степени такого рода сомнительность очень обычна. Если мы утверждаем, как это делает Рейхенбах, что все наше знание сомнительно, то мы не можем определить эту сомнительность математическим путем, ибо при составлении статистики уже предполагается, что мы знаем, что А есть или не есть В, что этот застрахованный человек умер или что он жив. Статистика строится на структуре предположенной достоверности прошедших случаев, и всеобщая сомнительность не может быть только статистической.

Я думаю поэтому, что все, во что мы склонны верить, имеет какую-то "степень сомнительности" или, наоборот, какую-то "степень правдоподобия". Иногда это бывает связано с математической вероятностью, а иногда нет; это более широкое и более неопределенное понятие. Но оно, однако, не является чисто субъективным. Есть родственное субъективное понятие, а именно степень убежденности, которую человек чувствует по отношению ко всякой своей вере; но "правдоподобие", как я его понимаю, есть объективное понятие в том смысле, что оно есть степень доверия, которое оказывает разумный человек. Когда я подытоживаю свои расчеты, то в первый раз я оказываю получающемуся результату только некоторое доверие, значительно большее я оказываю, если я получаю тот же результат во второй раз, и приобретаю почти полное убеждение, если я получаю его в третий раз. Этот рост убежденности идет вместе с накоплением подтверждений и является поэтому разумным. В любом предложении, в пользу которого имеется показание, хотя бы и недостаточное, есть соответствующая "степень правдоподобия", что есть то же самое, что и степень доверия, оказываемая разумным человеком. (Это последнее соображение может рассматриваться, возможно, как определение слова "разумный".) Большое значение придается вероятности в практике благодаря ее связи с правдоподобием, но если мы вообразим, что эта связь теснее, чем она на самом деле, то мы внесем путаницу в теорию вероятности.

Связь между правдоподобием и субъективным убеждением есть связь, которая может быть изучена эмпирически; у нас поэтому нет необходимости иметь какие-либо взгляды по этому вопросу до эмпирического свидетельства. Фокусник, например, может создать обстоятельства способом, известным ему самому, но рассчитанным на то, чтобы обмануть публику;

он может, таким образом, приобрести данные в отношении того, как создавать неверные убеждения, что, вероятно, полезно в деле рекламы и пропаганды. Мы не можем так легко изучить отношение правдоподобия к истине, потому что мы обычно принимаем высокую степень правдоподобия за достаточное свидетельство истины, а если мы этого не делаем, мы оказываемся больше не в состоянии открывать какие бы то ни было истины. Но мы можем обнаружить, образуют ли предложения, имеющие высокую степень правдоподобия, взаимно согласованную последовательность, так как такая последовательность содержит предложения (высказывания) логики.

В результате вышеприведенного предварительного обсуждения я думаю, что каждое из обоих различных понятий имеет на основе обычного употребления равное право называться "вероятностью". Первое из них является математической вероятностью, которая поддается числовому измерению и удовлетворяет требованиям аксиом исчисления вероятности;

это — тот вид вероятности, который предполагается при использовании статистики, будь то в физике, в биологии или в общественных науках, и также тот ее вид, который, как мы думаем, предполагается в индукции. Этот вид вероятности всегда имеет дело с классами, а не с отдельными случаями, за исключение того обстоятельства, когда они могут рассматриваться только как примеры.

Но существует и другой вид, который я называю "степенью правдоподобия". Этот вид применим к отдельным предложениям и всегда связан с учетом всех относящихся к делу свидетельств. Он применим даже в некоторых таких случаях, в которых нет никакого известного свидетельства. Высшая степень правдоподобия, которой только мы можем достигнуть, применима к большинству суждений восприятия; различные степени применимы к суждениям памяти в соответствии с их живостью и свежестью. В некоторых случаях степень правдоподобия может быть выведена из математической вероятности, в других же случаях это не может быть сделано; но даже в тех случаях, когда она может быть выведена, важно помнить, что это другое понятие. Именно этот вид, а не математическая вероятность подразумевается, когда говорят, что все наше познание только вероятно и что вероятность есть руководитель жизни.

Оба вида вероятности требуют обсуждения. Я начну с математической вероятности.

ГЛАВА 2.

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

В этой главе я собираюсь трактовать теорию вероятности как ветвь чистой математики, в которой мы выводим следствия определенных аксиом, не стараясь приписать им ту или иную интерпретацию. Относительно "интерпретации" смотри главу 1 четвертой части этой книги. Следует заметить, что, в то время как интерпретация в этой области является спорной, само математическое исчисление диктует здесь ту же меру согласия, как и во всякой другой области математики. Это положение вещей никоим образом не является чем-то особенным. Интерпретация исчисления бесконечно малых почти в течение двух столетий была предметом, по поводу которого спорили математики и философы; Лейбниц считал, что она предполагает актуально бесконечно малые, и только Вейерштрасс окончательно опроверг этот взгляд. Возьмем еще более существенный пример:

никогда не было никаких споров по поводу элементарной арифметики, и все-таки определение натуральных чисел все еще остается предметом спора. Мы не должны поэтому удивляться, что существует сомнение в отношении определения "вероятности", в то время как его нет (или очень мало) в отношении исчисления вероятности.

Следуя Джонсону и Кейнсу, мы будем обозначать выражением p/h неопределенное понятие "вероятность p при данном h". Когда я говорю, что это понятие является неопределенным, я имею в виду, что оно определяется только с помощью аксиом или постулатов, которые должны быть перечислены. Все, что удовлетворяет требованиям этих аксиом, является "интерпретацией" исчисления вероятности, и следует думать, что здесь возможно множество интерпретаций. Ни одна из них не является более правильной или более законной, чем другая, но некоторые могут быть более важными, чем другие. Так, среди интерпретаций пяти аксиом Пеано для арифметики та интерпретация, в которой первое число — 0, является более важной, чем та, в которой первое число — 3781; она более важна потому, что позволяет нам отождествить интерпретацию формалистической концепции с концепцией, признаваемой в перечислении. Но сейчас мы отвлечемся от всех вопросов интерпретации и займемся чисто формальной трактовкой вероятности.

Необходимые аксиомы, или постулаты, даются почти одинаково различными авторами. Следующие формулировки взяты у профессора Ч. Д. Брода. Эти аксиомы таковы:

1. Если даны p и h, то существует только одно значение p/h. Мы поэтому можем говорить о "данной вероятности p при данном h".

2. Возможные значения выражения p/h суть все действительные числа от 0 до 1, включая и то и другое. (В некоторых интерпретациях мы ограничиваем возможные значения рациональными числами; этот вопрос я буду рассматривать ниже.)

3. Если h имеет значение p, то p/h=1 (мы употребляем "1" для обозначения достоверности).

4. Если h имеет значение не-p, то p/h=0 (мы употребляем "О" для обозначения невозможности).

5. Вероятность p и q при данном h есть вероятность p при данном h, помноженная на вероятность q при данных p и h, и является также вероятностью q при данном h, помноженной на вероятность p при данных q и h.

Эта аксиома называется "конъюнктивной".

VI. Вероятность p и q при данном h есть вероятность p при данном h плюс вероятность q при данном h минус вероятность p и q при данном h.

Это называется "дизъюнктивной" аксиомой.

Для наших целей несущественно, являются ли эти аксиомы необходимыми; нас касается только то, что они достаточны.

В отношении этих аксиом требуются некоторые замечания. Ясно, что аксиомы 2, 3 и 4 выражают частично соглашения, которые легко можно изменить. Если, когда они приняты, значение какой-то данной вероятности есть x, то мы можем с одинаковым успехом принять в качестве ее значения любое число f(x), которое возрастает по мере возрастания x, вместо 1 и 0 в аксиомах 3 и 4 мы должны будем подставить f(1) и

f(0).

Согласно вышеприведенным аксиомам, предложение, которое должно быть истинным, если истинны данные, должно иметь в отношении данных вероятность, равную 1, а предложение, которое должно быть ложным, если данные истинны, должно иметь в отношении данных вероятность, равную 0.

Важно иметь в виду, что наше основное понятие p/h является отношением двух предложений (или конъюнкцией предложений), а не свойством одного предложения p. Это отличает вероятность, каковой она является в математическом исчислении, от вероятности, которой руководствуются в практике, так как последняя должна относиться к предложению, взятому само по себе или по крайней мере в отношении данных, которые не произвольны, а определяются проблемой и природой нашего познания. В исчислении, наоборот, выбор данных х совершенно произволен.

Аксиома V есть "конъюнктивная" аксиома. Она имеет дело с вероятностью того, что каждое из двух событий произойдет. Например, если я буду тянуть из колоды две карты, то каков шанс, что обе окажутся красными? Здесь "h" представляет собой данное, что колода состоит из 26 красных и 26 черных карт; 'p" обозначает, что "первая карта красная", а "q"— что "вторая карта красная". Тогда (p и q)/h" есть шанс, что обе карты будут красные, "p/h "есть шанс, что первая — красная, "q / (p и h)" есть шанс, что вторая — красная, при условии, что первая — красная. Ясно, что p/h =1/2, q (p и h) =25/51. Очевидно, согласно аксиоме, шанс, что обе карты будут красные, равен 1/2х25/51.

Аксиома VI есть "дизъюнктивная" аксиома. В вышеприведенном примере она дает шанс, что по крайней мере одна из карт будет красная. Она говорит, что шанс, что по крайней мере одна будет красная, есть шанс, что первая — красная, плюс шанс, что вторая — красная (когда не дано, будет ли первая красной или не будет), минус шанс, что обе — красные. Это равняется 1/2+1/2—1/2х25/51, если использовать результат, полученный выше с помощью конъюнктивной аксиомы.

Ясно, что с помощью аксиом V и VI, при том условии, что даны отдельные вероятности любой ограниченной совокупности событий, мы можем исчислить вероятность наступления их всех или по крайней мере вероятность наступления одного из них.

Из конъюнктивной аксиомы следует, что

Это называется "принципом обратной вероятности". Ее полезность может быть иллюстрирована следующим образом. Пусть p будет какой-либо общей теорией, а q — экспериментальным данным, относящимся к p. Тогда p/h есть вероятность теории p в отношении ранее известных данных, q /h — вероятность q в отношении ранее известных данных и q (p и h) — вероятность q, если p истинно. Таким образом, вероятность теории p после того, как q установлено, получается посредством умножения прежней вероятности p на вероятность q при данном p и деления на прежнюю вероятность q. В самом благоприятном случае теория p будет предполагать q, так что q/ (p и h) =1. В этом случае

Это значит, что новое данное q повышает вероятность p пропорционально предшествующей невероятности q. Другими словами, если наша теория предполагает нечто весьма неожиданное, а это неожиданное затем происходит, то это сильно повышает вероятность нашей теории.

Этот принцип может быть иллюстрирован открытием Нептуна, рассматриваемым как подтверждение закона тяготения. Здесь p — закон тяготения, h — все относящиеся к делу факты, известные до открытия Нептуна, q — факт обнаружения Нептуна в определенном месте. Тогда q /h было предварительной вероятностью, что до сего времени неизвестная планета будет найдена в определенной небольшой области неба. Пусть она была равна m/n. Тогда после открытия Нептуна вероятность закона тяготения стала в n/m раз большей, чем раньше.

Ясно, что этот принцип имеет большое значение в оценке роли нового свидетельства в пользу вероятности научной теории. Мы найдем, однако, что он доказывает нечто разочаровывающее и не дает таких хороших результатов, на которые можно было бы надеяться.

Существует имеющее большое значение предложение, иногда называемое теоремой Бейеса, которая имеет следующий вид. Пусть р1, p2,..., Pn будут n взаимно исключающих друг друга возможностей, причем известно, что какая-то одна из них истинна; пусть h будет означать общие данные, а q — какой-либо относящийся к делу факт. Мы хотим узнать вероятность одной возможности p, при данном q, когда мы знаем вероятность каждого P1 до того, как стало известным q, a также вероятность q при данном р1 для каждого г. Мы имеем

Это предложение позволяет нам решить, например, следующую задачу: дано n +1 сумок, из которых первая содержит n черных шаров и ни одного белого, вторая содержит n — 1 черных шаров и один белый; r+1-я сумка содержит n — r черных шаров и r белых. Берется одна сумка, но неизвестно, какая именно; из нее вынимается m шаров, и оказывается, что все они белые; какова вероятность, что взята была сумка r? Исторически эта задача важна в связи с претензией Лапласа на доказательство индукции.

Возьмем, далее, закон больших чисел Бернулли. Этот закон устанавливает, что если на каждое число случаев шанс наступления определенного события есть p, то при данных любых двух сколько угодно малых числах e и s шанс, что, начиная с достаточно большого числа случаев, отношение случаев наступления события всегда будет отличаться от p больше, чем на величину s, будет меньше, чем e.

Поясним это с помощью примера с бросанием монеты. Допустим, что выпадение лицевой и оборотной сторон монеты одинаково вероятно. Это значит, что, по-видимому, после достаточно большого количества бросаний отношение выпадений лицевой стороной никогда не будет отличаться от 1/2 больше, чем на величину s, как бы мала ни была эта величина s; далее, как бы s не было мало, где бы то ни было после n бросаний, шанс такого отклонения от 1/2 будет меньше e, если только n достаточно большое.

Так как это предложение имеет большое значение в приложениях теории вероятности, например в статистике, постараемся получше освоиться с точным смыслом того, что утверждается в вышеприведенном примере с бросанием монеты. Прежде всего я утверждаю, что начиная с определенного числа их выпадения процент выпадения монеты лицевой стороной всегда будет, скажем, между 49 и 51. Допустим, что вы оспариваете мое утверждение и мы решаем проверить его эмпирически насколько только возможно. Значит, теорема утверждает, что чем дольше мы будем продолжать проверку, тем больше будет казаться, что мое утверждение порождено фактами и что по мере того, как число бросаний будет увеличиваться, эта его вероятность будет приближаться к достоверности как к пределу. Предположим, что с помощью этого эксперимента вы убеждаетесь, что начиная с некоторого числа бросаний процент выпадения лицевой стороной всегда остается между 49 и 51, но теперь я утверждаю, что начиная с некоторого большего числа бросаний этот процент будет всегда оставаться между 49,9 и 50,1. Мы повторяем наш эксперимент, и спустя некоторое время вы снова в этом убеждаетесь, хотя на этот раз, возможно, спустя большее время, чем прежде. После любого данного числа бросаний останется шанс, что мое утверждение не подтвердится, но этот шанс все время будет уменьшаться по мере того, как число бросаний будет увеличиваться, и может стать меньше любой приписанной ему величины, если бросание будет продолжаться достаточно долго.





Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 203 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.016 с)...