Функция распределения

Лабораторная работа

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Случайные величины

Выполнил студент

ФМК,2-ой курс, ДМП Н.Л.Киселев

Проверил

доктор физико-математических наук,

профессор А.И.Астровский

МИНСК 2012

Случайная величина

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее неизвестно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории:

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Функция распределения

В случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Тогда задать все значения случайной величины просто нереально.

Поэтому встает задача найти общий способ задания любых типов случайных величин.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x).

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х

F (x)= P (X< x).

Функцию распределения также называют интегральной функцией. Она существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Функция распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Рис. 1. Функция распределения непрерывной случайной величины

Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(x₂) > F(x₁);

в) F(- ∞) = 0; F(+ ∞) = 1;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (причем ), равна:

д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)