править]Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

(2)

Здесь мы обозначили — радиус-вектор из начала координат, — двумерный элемент объёма, — единичный вектор, который можно параметризовать как . С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) тривиально обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под , и понимать соответственно N-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в N-мерном пространстве и N-мерный единичный вектор. В принципе, вектор можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация .

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости перпендикулярной вектору и проходящей на расстоянии s от начала координат (взятом со знаком минус если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором ).

[править] Обращение многомерного преобразования Радона

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Покажем это.

Рассмотрим преобразование Фурье от по переменной s, то есть

.

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим

.

Заметим теперь, что есть интеграл по всему N-мерному пространству (здесь под интегралом подразумевается интеграл по N-1 мерной сфере, в частности, для N=2 , для N=3 ). Из этого следует, что

.

Используя это представление векторной дельта-функции получаем формулу обращения

.