Убывающие последовательности замкнутых множеств в полных метрических пространствах

Пусть (X,ρ)- полное метрическое пространство,(F_n) – последовательность замкнутых множеств,удовлетворяющих условиям:1)F_n содержится в … содержится в F₂,содержится в F₁.2)diamF_n->0.Тогда пер. всех F_n .

Доказательство. n N фиксируем точку x_n F_n.

Последовательность x_n – фундаментальная.Действительно,фиксируем ξ>0.

Т.к. diamF_n->0 p N | n≥p diamF_n<ξ.

(X,ρ) – полное => x X | x_n->x.Покажем,что x пер.всех F_n.

От противного.Допустим что n N|x F_n.Тогда U=X\F_n – окрестность точки x и X_k не U k≥n.?!

39.Вполне ограниченные метрические пространства. Связь между ограниченностью и вполне ограниченностью. Вполне ограниченные множества в (Rⁿ, d) (d-евклидова метрика)

Метрическое пространство (X,ρ) называется вполне ограниченным если ξ>0 конечное покрытие пространства X открытыми шарами радиуса ξ.Непустое подмножество A метрического пространства (X,ρ) называется вполне ограниченным если вполне ограничено подпространство (A,ρΙ_A).

Пусть (X,ρ) – метрическое пространство,ξ>0.Множество M,содержащееся в X, называется ξ-сетью если x X z M|ρ(z,x)<ξ

(т.е. если объед. всех B_ρ(z,r)=X).

(X,ρ) – вполне огр. <=> ξ>0 в X конечная ξ-сеть.

Утверждение: (X,ρ) – метрическое пространство. A ≠ и и содержится в X.

A – вполне огр. <=> ξ>0 x₁,x₂…x_n X|A содержится в B_ρ(x_n,ξ)v…v B_ρ(x,ξ).

Доказательство.

«=>»Фиксируем ξ>0.Т.к. (A,ρΙ_A) вп.огр.,в нём конечная ξ-сеть.

{a₁,…,a_n} A содержится в B_ρ(a,ξ)v…v B_ρ(a_n,ξ)

«<=»Покажем,что в (A,ρΙ_A) конечная ξ-сеть ξ>0.

Фиксируем ξ>0. x₁,x₂,…,x_n X|A содержится в B_ρ(x₁,ξ/2)v…v B_ρ(x_n,ξ/2)

i≤n фикс. a_i B_ρ(x₁,ξ/2),Пок.,что {a₁,…,a_n} - ξ-сеть в (A,ρΙ_A).

Рассм. a∈ j≤n | a B_ρ(x_j,ξ/2).

,ρ(a,a_j)≤ρ(a_i,x_j)+ρ(x_j,a_j)<ξ

Следствие: любое подпространство вполне ограниченного метрического пространства вполне ограничено.

Утверждение: любое вполне ограниченное подпространство метрического пространства ограничено

X| A B(x₁,1)U…U(B(x_n, 1) Обозначим через m=max{ρ(x_i,x_j)|i,j≤n} Пусть u,v∈A ∃ i≤n| u∈B (x_i;1) ∃ j≤n|v∈B (x_j;1) ρ(u,v)≤ ρ(u,x_i)+𝜌(x _i,x_i)+ρ(x_j,v)<m+2∎

Пример: для подмножеств метрического пространства (Rⁿ, d) (d-евклидова метрика)

ограниченность≈полной ограниченности

∎пусть A-ограниченное подмножество (Rⁿ, d). ∃параллелепипед П⊇A. fix ε>0; рассмотрим α={Bⁿ(z,ε)|z∈П} ∃ z₁…z_k|П Bⁿ(z₁,ε)U…U Bⁿ(z_k,ε), тем более Bⁿ(z₁,ε)U…U Bⁿ(z_k,ε)

40 Критерий того, что метрическое пространство не является вполне ограниченным. Пример: замкнутый шар в пространстве С[0,1] с метрикой равномерной сходимости как ограниченное, но не вполне ограниченное множество

Метрическое пространство (Х, ρ) не является вполне ограниченным ε> 0 и последовательность в Х такие, что ρ(x_n.x_m) ε .

Доказательство:

) Х – не является вполне ограниченным ε> 0 такое, что х не покрывается никаким количеством шаров радиуса ε. Построим по индукции последовательность , удовлетворяющую условию ρ(x_n.x_m) ε . Элемент х₁ выбираем произвольно. Пусть определены члены последовательности х₁…х_n, удовлетворяющие условию ρ(x_n.x_m) ε . Тогда, так как В (х₁, ε) .. В (х_k, ε) х, то

- (В (х₁, ε) .. В (х_k, ε)). ρ(x_k+1,x_n) ε при n k.

) Дано: ε>0 и последовательность , удовлетворяет условию ρ(x_n.x_m) ε . Покажем, что Х не покрывается никаким конечным семейством открытых шаров, радиуса ε/2. Допустим Х= В (z₁, ε/2) .. В (z_k, ε/2). Найдется хотя бы один шар, содержащий бесконечно много членов последовательности . такое, что шар В (z_i, ε/2) содержит бесконечно много членов последовательности . Пусть х_n, x_m В (z_i, ε/2), тогда ρ(x_n,x_m) ρ(x_n,z_i)+ ρ(z_i,x_m) < ε?!

41 Теорема о связи между компактностью, полнотой и полной ограниченностью метрических пространств: доказательство того, что компактное метрическое пространство является полным и вполне ограниченным

Метрическое пространство (Х, ρ) компактно когда оно полное и вполне ограниченное

Доказательство:

) 1) Полнота. Пусть, - фундаментальная последовательность. Построим центрированное семейство замкнутых множеств. Обозначим: . Семейство ξ= - центрированное семейство замкнутых множеств. Так как Х – компактно, то (пересечение семейств не пусто). Покажем, что . Рассмотрим ε > 0. Так как последовательность фундаментальная, то

ρ(х_n, x_m) < ε/2. Покажем, что , ρ(х_n, x) < ε. Так как В (х, ε/2). Пусть , тогда ρ (x_n,x) ρ(x_n,x_k)+ ρ(x_k,x) < ε

2) Вполне ограниченность. fix ε > 0. Рассмотрим семейство . - открытое покрытие для Х содержит конечное подпокрытие. Так как х – компактно, то х₁…х_n В (х₁, ε) .. В (х_n, ε).

42 Теорема о связи между компактностью, полнотой и полной ограниченностью метрических пространств: доказательство того, что полное и вполне ограниченное метрическое пространство компактно.

Метрическое пространство (Х, ρ) компактно когда оно полное и вполне ограниченное

Доказательство:

) «От противного». Пусть Х – некомпактно. открытое покрытие пространства Х, не содержащее конечного подпокрытия. В качестве замкнутого множества возьмем Х. Х можно представить в виде: Х = D₁ .. D_n, где D_i Х и diam D_i 1. Хотя бы одно из множеств D_i не покрывается никаким конечным подсемейством семейства . Обозначим его F₁. Строим последовательность замкнутых множеств. Построим по индукции последовательность F_i замкнутых множеств, удовлетворяющих условиям:

1) F_i F_i+1 2) F_i не покрывается никаким конечным подсемейством семейства для 3) diam F_i 1/ i.

Множество F1 – определено. Пусть для k N определены F₁…F_k, которые для соответствующих значений i удовлетворяют условиям 1)-3). F_k можно представить в виде F_k= k₁ … k_m, где x_i X diam k_{i .} Хотя бы одно из этих множеств не покрываются никаким конечным подсемейством семейства . Обозначим его F_k+1. Последовательность F_i, удовлетворяющая условиям 1)-3), построена. В силу полноты . . Так как U – открыто В(х,r) U. Рассмотрим . Тогда множество F_p В(х,r) U, что противоречит условию.