Линейная зависимость векторов. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами будем называть конечную сумму вида

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами будем называть конечную сумму вида

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из ее коэффициентов отличен от нуля.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация из этих векторов, равная нулевому элементу : .

Простейшие примеры линейно зависимых векторов.

1. Вектор и его противоположный вектор составляют линейно зависимую систему векторов.

Действительно, ,

таким образом, и система векторов , линейно зависима.

2. Коллинеарные векторы (уметь доказывать)

3. Компланарные векторы (уметь доказывать)

4. Любые n () геометрических вектора.

Пример. Составим линейную комбинацию из векторов
, и .

. Задача найти коэффициенты линейной комбинации

Очевидно, что решением здесь будут коэффициенты .

Определение

Система векторов называется линейно независимой, если из равенства следует, что все коэффициенты равны нулю (то есть существует только тривиальное решение).

Пример. Составим линейную комбинацию из векторов , и

.

Здесь существует, только тривиальное решение. Эта линейная комбинация может равняться нулевому элементу, только если все коэффициенты равны нулю одновременно.

Два неколлинеарных вектора плоскости составляют базис векторов плоскости. Это означает, что каждый вектор этой плоскости однозначно разлагается по векторам

Некомпланарные векторы образуют базис векторов трёхмерного пространства, и любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде: .