Лабораторная работа 1. Кривые второго порядка

Из школьного курса геометрии вам уже известна одна из кривых второго порядка – это окружность.

Задание 1. Вспомните, как можно построить окружность без помощи циркуля и линейки, имея только нитку произвольной длины?

Задание 2. Закрепите нить не в одной, а в двух точках, то какая кривая при вычерчивании у вас получится? Обе точки закрепления нити называются фокусами.

Задание 3. Какую особенность можно выявить у эллипса при построении с помощью нити?

Задание 4. Пользуясь полученным конструктивным определением эллипса, найдите его уравнение. Для этого обозначьте координаты фокуса F₁ (—с; 0) и F₂ (с; 0), М(х,у) – координаты произвольной точки эллипса, а сумму расстояний примите равной 2а.

Задание 5. Кроме рассмотренной линии, существуют и другие кривые второго порядка. Вспомните, какие? Запишите их уравнения. Предложите свои способы их построения.

Задание 6. Вырежем два одинаковых картонных круга. Один из них закрепим неподвижно. Второй приложим к первому, отметим на его краю точку А, наиболее удаленную от центра первого круга. Прокатим без скольжения подвижный круг по неподвижному и наблюдайте, какую линию опишет точка А? На что она похожа? Полученная линия называется кардиодида.

Задание 7. По прямой без скольжения прокатите круг. Изучите траекторию, которую опишет точка А, взятая на окружности этого круга. Эта траектория получила название циклоиды.

Задание 8. Возьмем кусок картона и вырежем в нем круг радиуса 12 см. Из того же материала вырежем три круга радиусами 4 см, 3 см и 2 см. Положим кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги, вложим в этот вырез первый из трех кругов, чтобы он касался края, и отметим на окружности этого кружка точку А. Исследуйте, какую линию опишет отмеченная точка, когда кружок покатится по окружности выреза без скольжения. Выполним то же и с другими кружками. В каждом случае получится линия, которая называется гипоциклоида. Опишите, во что превратится гипоциклоида, если радиус меньшего круга равен 6 см, а большего -12 см?

Задание 9. Сделайте из плотной бумаги, свернув ее в несколько раз, трубочку. Разрежьте эту трубочку наклонно. Если трубочку не разворачивать, то какая фигура будет в сечении? Какую линию образует разрез, если развернуть одну из частей трубочки? Перерисуйте эту линию на бумагу.