Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл

Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A₁ … n

Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. B₁ C₁…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0, х1... хn, где

а = х0 < х1< х2 <.... < хn-1 < хn = b

2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, …, n

Диаметром разбиения называется

D = - длина максимального из отрезков разбиения.

На каждом отрезке , i = 1, 2, …, n, произвольно выберем и составим сумму

(13)

которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей

данному разбиению отрезка [а, b] и выбору точек .

Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.

Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х) 0, .

Произведение f()Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и высотой f ().

Тогда сумма

представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f (), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а, хn = b.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.