По темам «Случайные события и случайные величины»

517.2(07)

М – 34

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ РЫНКА»

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания

Для расчетных работ

Часть 3

САМАРА

УДК – 517.2(07)

М - 34

МАТЕМАТИКА. Методические указания и задания для расчетных работ. Часть 3. /Составитель Л.С. Клентак. – Самара: МИР, 2008. – 52 с.

Методическое пособие содержит контрольные задания по темам: «Элементы теории вероятностей», «Математическая статистика» и методические указания к решению типовых примеров.

Методическое пособие предназначено для студентов Международного института рынка, обучающихся по очной и заочной формам по специальностям «Организация работы с молодежью», «Государственное муниципальное управление», «Менеджмент организации», «Маркетинг», «Прикладная информатика», «Финансы и кредит», «Экономика и управление на предприятии» для самостоятельного овладения материалом.

Составители: Клентак Людмила Стефановна

старший преподаватель.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент

Печатается по решению Научно-методического совета

Международного института рынка

© Международный институт рынка, 2008

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 1.

По разделу «Элементы теории вероятностей»

по темам «Случайные события и случайные величины».

Варианты заданий для расчетной работы определяются по порядковому номеру студента в списке группы.

Замечание: буквой V обозначен номер варианта.

Задание к задачам № 1.1 -1.4

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2. Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие А и другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние. Вычисления произвести, по возможности, точно.

Задача 1.1. В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) Р белых шаров;

б) меньше, чем Р, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М и Р по вариантам приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Вариант

К

Н

М

Р

Вариант

К

Н

М

Р

Задача 1.2. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями , и . Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

;

Задача 1.3. В пирамиде стоят R винтовок, из них L, с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью , а, стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью . Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

Задача 1.4. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно , и . Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

Задание к задачам 1.5 – 1.9.

1) Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2) Определить исходные данные и результаты.

3) Определить подходящие формулы вычисления и выполнить вычисления при помощи микрокалькулятора и таблиц.

4) Построить требуемые графики.

Задача 1.5. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Вычислить все вероятности , , где k — частота события А.

Построить график вероятностей . Найти наивероятнейшую частоту.

Значения параметров п и р вычислить по следующим формулам:

Задача 1.6. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно G раз;

б) точно L раз;

в) меньше чем М и больше чем F раз;

г) меньше чем R раз.

Значения параметров п, р, G, L, М, F и R вычислить по следующим формулам:

Задача 1.7. Случайная величина X задана рядом распределения

X
P

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х) и моду Мо.

Значения параметров , , , , , , , вычислить по следующим формулам:

R = остаток (V/4) + 2;

Задача 1.8. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X. Построить графики функций f(х) и F(х). Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х), моду Мо и медиану Ме.

Значения параметров К и R вычислить по следующим формулам:

K=2 + V, R = 2∙К.

Задача 1.9. Задана случайная величина . Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале [а, b];

б) меньше K;

в) большее L;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на .

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

= V, = остаток (V/8) + 2, S = остаток (V/5) + 1,

=V − S, b = V + 2S, К = V − S,

L= V + 2S, = S.

Решение задач варианта 0.

Задача 1.1.

Из таблицы для варианта 0 имеем: К = 5, Н = 6, М = 4, Р = 2.

В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно

а) — среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

б) — среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

— среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,

— среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные:

Так как события и несовместны, можно использовать формулу:

Имеем:

в) — среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый шар и 3 черных (), 2 белых и 2 черных (), 3 белых и 1 черный (), 4 белых ().

Имеем:

Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямоё решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле

вычислить вероятность искомого события.

— среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

Ответ: , ,

Задача 1.2. Подставив вариант 0, получим:

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Испытание, т. е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

а) — за время Т выходит из строя только один элемент:

— первый элемент выходит из строя;

— второй элемент выходит из строя;

— третий элемент выходит из строя;

— первый элемент не выходит из строя;

— второй элемент не выходит из строя;

— третий элемент не выходит из строя.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий и , и формулы и , получаем следующую формулу:

По условию,

= 0,851, Р () = 0,751, Р () = 0,701, а по формуле получаем

= 0,149, Р() = 0,249. Р() = 0.299. Таким образом,

= 0.149∙0,751∙0.701 +0.851∙0,249∙0.701 + 0.851∙0,751∙0,299 = 0,418.

б) — за время Т выходит из строя хотя бы один элемент. Событие определяется словами «хотя бы один», значит, используем противоположное событие.

— за время Т все элементы работают безотказно:

Ответ: , .

Задача 1.3.

Подставляя , получаем , ,

В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым — стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:

А — стрелок поразит мишень;

— стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;

— стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.

Используем формулу полной вероятности .

Имеем

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для ) и (для ); таким образом, , .

Условные вероятности заданы в условии задачи:

и .

Следовательно,

0.

Ответ: Р(А) = 0.515.

Задача 1.4. Подставляя , получаем , , ,

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами - изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым - работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:

А — электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;

— монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;

— монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;

− монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.

Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:

Условные вероятности заданы в условии задачи:

, и .

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

, , .

0.

По формуле Бейеса вычисляем условные вероятности событий (гипотез) , , :

Ответ: , , .

Задача 1.5. В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности , , где k — частота события А. Построить график вероятностей . Вычислить наивероятнейшую частоту.

Задано: п = 11, р = 0,3, q = 1 — р = 0,7.

Найти:

Используем формулу Бернулли и формулу вычисления последующего значения через предыдущее значение : . Значение вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности — по второй.

В рекуррентном соотношении вычисляем постоянный множитель

= 0,4285714, = 0,0197732.

Результаты вычислений запишем в табл. 2. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство .

Таблица 2.

k
	−	0,0197732
	11/1	0,0932168
	10/2	0,1997503
	9/3	0,2568218
	8/4	0,2201330
	7/5	0,1320798
	6/6	0,0566056
	5/7	0,0173282
	4/8	0,0037131
	3/9	0,0005304
	2/10	0,0000454
	1/11	0,0000017
	−	0,9999994

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Рис. 1. График вероятностей

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

Значит, наивероятнейшая частота k = 3 и, как и было получено ранее, значение является максимальным.

Задача 1.6. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 220 раз;

б) точно 190 раз;

в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз;

г) меньше чем 235 раз.

При решении этой задачи используем теоремы Муавра — Лапласа: локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).

а) Задано: п = 500, р = 0,4, k = 220.

Найти: .

Имеем:

б) Задано: п = 500, р = 0,4, k = 190.

Найти: .

Получаем:

в) Задано: п = 500, р = 0,4, a = 190, b = 240.

Найти: .

Находим:

г) Задано: п = 500, р = 0,4, a = 0, b = 235.

Найти: .

Имеем:

Задача 1.7. Случайная величина X задана рядом распределения

X
P	0,14	0,20	0,49	0,17

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х) и моду Мо.

Функцию распределения находим по формулам для дискретных случайных величин:

и

Построим график функции распределения (рис. 2).

Рис. 2. График функции распределения.

Среднее значение M(Х) вычисляем по формуле :

M(Х) = 3 ∙ 0,14 + 5 ∙ 0,2 + 7 ∙ 0,49+ 11 ∙ 0,17 = 6,72.

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами

и :

∙ 0,14 + 0,2 + 0,49+ 0,17 = 50,84,

D(Х) = 50,84 — = 5,6816.

Моду Мо найдем по максимальной вероятности Мо = 7.

Задача 1.8. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности

Значения параметров К и R вычислены по следующим формулам:

K=2 + V = 2+0 =2, R = 2∙К = 4.

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X. Построить графики функций и . Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х), моду Мо и медиану Ме.

Функцию распределения непрерывной случайной величины находим по формуле: , где − функция плотности вероятности.

Поэтому

Построим графики функций и (рис.3 и рис.4)

Рис. 3. График функции плотности вероятности .	Рис.4. График функции распределения .

Задача 1.9.

Значения параметров вычислены по данным в задании формулам:

Задана случайная величина . Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале [-1, 2];

б) меньше - 1;

в) большее 2;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 1.

В первых трех случаях можно воспользоваться формулой

, где − функция распределения, а в четвертом − формулой

а) Задано:

Найти:

Имеем:

б) Задано:

Найти:

Получаем

в) Задано:

Найти:

Получаем

г) Задано:

Найти:

Получаем: