Перша важлива границя

Приклади.

1. Якщо при , то при .

2. Якщо при , то при .

3.3 Границя послідовності. Границя функції

Нагадаємо, що закон, за яким кожному натуральному числу ставиться у відповідність число , визначає функцію натурального аргумента або послідовність чисел .

Означення 1. Число називається границею послідовності при (позначається ), якщо для довільного існує номер , що залежить від , такий, що для всіх наступних номерів виконується нерівність

,

або скорочено:

(14)

Якщо число є границею послідовнсті при , то ще прийнято говорити, що послідовність збігається до числа .

Наприклад, послідовність має своєю границею число , тобто .

Справді, розглянемо різницю

Тепер для як завгодно малого , наприклад, , можна підібрати номер , що залежить від , розв’язавши в даному випадку нерівність . Отже, якщо взяти , то тепер для всіх номерів маємо

Оскільки можна вибирати як завгодно малим, то число є границею послідовності при , або ж послідовність при збігається до числа .

Означення границі для послідовності, як для функції натурального (дискретного) аргумента, легко перенести і на функцію неперервного аргумента.

Означення 2. Число називається границею функції в точці , якщо ця функція визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , і якщо границя послідовності існує і дорівнює , яка б не була послідовність , збіжна до і така, що для всіх . Таким чином,

.

Ця границя повинна бути однаковою для всіх таких послідовностей, вона і є границею .

Границю функції можна означити безпосередньо, не користуючись границею послідовності.

Означення 3. Число називається границею функції при , якщо визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , і якщо для довільного існує число , що залежить від , таке, що із нерівності випливає нерівність , позначається

,

тобто

(15)

Означення 3 границі функції можна замінити більш спрощеним, яке на перших порах легше запам’ятовується.

Означення 4. Число називається границею функції при , якщо визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , і якщо із того, що різниця нескінченно мала випливає, що різниця теж нескінченно мала, тобто

(16)

Вияснимо геометричний зміст означення 3, скориставшись графіком функції (див. рис.21)

Рис. 21

Припустимо, що при прямуючому до , функція прямує до границі , тобто . Згідно означення 3 це значить, що для як завгодно малого можна знайти число таке, що із нерівності нерівність . Це означає, що для всіх , що знаходяться від точки не дальше ніж на , відповідні точки графіка функції попадають в середину смуги шириною , обмежену прямими і .

Можна довести, що означення 2 і 3 є еквівалентними.

Означення 2 зручно застосовувати для функцій, границя яких в даному процесі не існує. Розглянемо, наприклад, функцію при . Ця функція визначена для всіх значень , є парною, її графік симетричний відносно осі . Вияснимо поведінку функції для конкретних трьох послідовностей збіжних до при :

а) тоді для

б) тоді для

в) тоді для .

Отже, для наведених збіжних до нуля послідовностей функція не прямує ні до якої границі, тобто

не існує (див. частину графіка на рис. 22)

Рис. 22

Графік функції має вигляд нерівномірно стиснутої пружини: чим ближче до початку координат тим щільніше розміщуються окремі ланки пружини.

Означення 5. Число називається границею функції при або , якщо для як завгодно малого знайдеться число таке, що із нерівності випливає нерівність , при цьому пишуть

, або , або .

Таким чином співвідношення

залишається правильним і в тому випадку, коли або .

3.4. Властивості границь

Теорема 1. Якщо функцію при можна представити у вигляді суми сталої і нескінченно малої , тобто

, (1)

то

( – скінченне або ). (2)

Навпаки, якщо , то можна записати

де н.м. при .

Дійсно, нехай тоді де н.м. при , тобто для таке, що із нерівності нерівність , або , а це і значить, що має місце рівність (2).

Навпаки, нехай виконується рівність (2). А це означає, що для таке, що із Позначимо , тоді остання нерівність означає, що

тобто н.м.

Наслідок. Якщо то тобто границя сталої величини дорівнює цій сталій.

Дійсно, за теоремою 1 маємо або буде меншою .

Теорема 2. Нехай існують скінченні границі і .Тоді ,

за умови, що .

Доведемо, наприклад, другу рівність. За теоремою 1(формула 1) з того, що і маємо: де і – н.м. при . Розглянемо добуток н.м. За теоремою 1 маємо, що число є границею функції при , тобто

Рівності перша і третя теореми 2 доводяться аналогічно.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі, тобто якщо то

оскільки

Означення 1. Функція називається обмеженою при , якщо існує окіл з центром в точці , в якому функція обмежена.

Означення 2. Функція називається обмеженою при , якщо існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , функція обмежена.

Теорема 3. Якщо границя є скінченною, то функція обмежена при .

Доведення дамо, коли скінченне. Із рівності випливає, що для існує таке, що із випливає тобто обмежена.

3.5. Теореми про існування границь

Теорема 1. Нехай при ( скінченне або ) для трьох функцій виконується нерівність

Якщо існують границі і , які дорівнюють числу , то існує

.

Доведення. Очевидно, що із нерівності

За теоремою 1 із 2.4. н.м., н.м. при . Це значить, що для довільного можна знайти таке, що з нерівності а, отже, тобто .

Теорема 2. Якщо функція зростає, і якщо вона обмежена зверху, тобто , то ця функція має границю , де , а -скінчене або (див.рис.23).

Рис. 23.

Аналогічне твердження має місце і для спадної, обмеженої знизу, функції .

3.6. Односторонні границі

Будемо розглядати процес, коли змінна , але при цьому залишається меншим , тобто зліва. Цей факт позначають (зл. – зліва), або зручніше записувати . Аналогічно, якщо і то будемо говорити, що справа, позначають або .

Означення. Число називається лівою границею функції в точці , якщо вона визначена на деякому напівінтервалі і для неї існує .

Аналогічно, якщо визначена в напівінтервалі і існує , то називається правою границею функції .

Ліва – і права границі називають односторонніми. Їх ще прийнято позначати

Зауваження. Рівності

еквівалентні , тобто якщо односторонні границі існують і рівні в точці , то існує границя функції .

Якщо ж односторонні границі різні, тобто

або хоча б одна з них не існує, тоді не існує й границя функції при .

3.7. Невизначеності. Приклади знаходження деяких границь

При знаходженні границі ми використовуємо їх властивості, зокрема теорему 2 із 3.4. Можуть виникати такі випадки.

1. Якщо функція визначена в точці , то

,

тобто границя функції збігається з її значенням в точці .

2. Якщо ж функція в точці невизначена або , то можуть зустрітись співвідношення вигляду: , які називаються невизначеностями.

В більшості таких прикладів для знаходження границі над функціями, що стоять під знаком необхідно виконати певні тотожні перетворення, або ще говорять: “позбавитися невизначеності” або “розкрити невизначеність”. А там, де невизначеності не зустрічаються, розв’язання здійснюються у відповідності теореми 2 та властивостей.

Розглянемо кілька конкретних прикладів з поясненнями

1) Знайти згідно теореми 2, а також =

за наслідками із 2.4

=

тобто границя функції збігається з її значенням, бо .

2)

Оскільки функція в точці невизначена, і то теорему 2 не можна застосовувати. Робимо перетворення.

=

=

Ф-я – обмежена – н.м., оберненна н.в., добуток їх – н.в.

=

.

3)

В точці ф. невизначена корінь чисельника і знаменника. Розклад на множники

=

=

оскільки і, то на скорочуємо

=

Зауваження. У загальному випадку, якщо

то необхідно зробити тотожні перетворення так, щоб і тоді замість

розглянути

Це, зокрема, стосується випадку, коли , тоді за допомогою тотожності

(1)

отримаємо

де .

Аналогічно для береться тотожність

(2)

тоді

4)

5)

6) див. формулу (2) =

3.8. Границя дробово раціональної функції при х ®¥

Розглянемо спочатку наступний приклад

7)

= (добуток н.в. на обмежену є н.в.) = ¥.

З даного прикладу можна зробити висновок, що у випадку многочлена із степенями різних знаків при може бути невизначеність . Щоб її розкрити необхідно винести старший степінь за дужки. Враховуючи цей висновок, розглянемо границю дробово раціональної функції (див. 1.9) при .

В кожній з дужок обмежені величини. Можливі три випадки:

1) , тоді степені скорочуються і границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях ;

2) , тоді після скорочення в чисельнику залишиться , тому границя дорівнює ¥;

, тоді після скорочення в знаменнику залишиться , а обернена до неї при , в границі отримаємо . Отже

(1)

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти границі.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. . 14. .

15. . 16. . 17. .

18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. .

24. . 25. .

26. . 27. .

28. . 29. .

30. . 31. .

32. . 33. .

34. .

Відповіді. 1. 3. 2. 1. 3. 0. 4. -6. 5. 1/4. 6. -3. 7. 3/2. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. . 21. 2/3. 22. . 23. . 24. . 25. .

26. . 27. 1/2. 28. . 29. . 30. -3. 31. . 32. . 33. . 34. .

Перша важлива границя

Першою важливою називається границя

(1)

Для доведення (1) будемо виходити із геометричних міркувань (див. рис. 24)

Рис. 24

Оскільки , то вважаємо, що кут 2 –гострий центральний кут в колі радіуса . Довжина хорди очевидно менша довжини дуги , а дуга очевидно менша довжини ламаної , тобто

Із . Довжина дуги . Із довжина дотичної . Отже, нерівність запишеться

За теоремою 1 із 2.5 про границю нерівностей маємо

що рівносильно (1).

На основі (1) отримаємо ще кілька необхідних формул.

. (2)

заміна

. Якщо

то

(3)

Аналогічно

(4)

(5)

Приклади.

1.

2. Заміна =

3.

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти границі

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. .

18. . 19. .

20. .

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .

3.10. Натуральні логарифми. Границя, пов’язана з натуральним логарифмом

Розглянемо функцію при . Її область визначення: . Оскільки , то функція зростає. При , графік проходить через початок координат (див. рис. 25)

Нехай довільна точка графіка. Пряму , що перетинає графік в двох точках і , називають січною. Січна утворює з віссю кут .

Припустимо, що точка по кривій наближається до точки , тобто . Січна при цьому буде повертатись навколо точки , кут буде змінюватись. Точка на кривій може вибиратись як справа, так і зліва відносно точки .

Означення. Граничне положення січної , що проходить через точку , при умові що точка кривої прямує до точки називається дотичною до кривої в точці .

Позначимо через кут нахилу дотичної, тоді згідно означення маємо

або (1)

Тепер звернемо увагу на положення графіка в залежності від основи . Для прикладу розглянемо функції

При маємо Схематично положення кривих зображено на рис. 26

Рис.26

В точці проведені відповідні дотичні: I, ІІ, ІІІ. Із рис. 26 зрозуміло, що при збільшені основи кут нахилу дотичної до зменшується, а при зменшені до цей кут збільшується. Очевидно, що можна підібрати основу такою, щоб дотична до , що проходить через точку , утворювала з віссю кут в , тобто, щоб дотичною стала бісектриса .

Можна довести, що значення шуканої основи дорівнює ірраціональному числу яке прийнято позначати буквою . Більш точно .

Число було введено Л. Ейлером[1].

Логарифми за основою називаються натуральними, замість

пишуть .

За формулою переходу до нової основи

маємо зв’язок між десятковими та натуральними логарифмами

або

Має місце формула

(2)

Дамо геометричне пояснення формули (2).

Згідно рис. 27 із маємо

кутовий коефіцієнт січної, але , тому

Якщо , то кут нахилу січної зростає до значення кута нахилу дотичної , тому у відповідності із співвідношенням (1) Звідки отримуємо (2).