Генерация простого числа

Для алгоритмов с открытыми ключами нужны простые числа. Их нужно множество для любой достаточно большой сети. Прежде, чем обсуждать математику генерации простого числа, я отвечу на несколько очевидных вопросов.

Если каждому понадобится свое простое число, не иссякнет ли у нас запас? Нет. В действительности существует приблизительно 10151 простых чисел длино1 до 512 бит включительно. Для чисел, близких n, вероятность того, что случайно выбранное число окажется простым, равна 1/ln n. Поэтому полное число простых чисел, меньших n, равно n/(ln n). Во вселенной всего 10⁷⁷ атомов. Если бы для каждого атома во вселенной с начала времен каждую микросекунду требовался бы миллиард простых чисел, понадобилось бы только 10¹⁰⁹ простых чисел, осталось бы еще примерно 10¹⁵¹ простых чисел.

Что если два человека случайно выберут одно и то же простое число? Этого не случится. При выборе из 10151 простых чисел вероятность совпадения выбора значительно меньше, чем вероятность, что ваш компьютер случайно вспыхнет в тот самый момент, когда вы выиграете в лотерею.

Если кто-то создаст базу данных всех простых чисел, не сможет ли он использовать эту базу данных для вскрытия алгоритмов с открытыми ключами? Нет. Если бы вы хранили один гигабайт информации на устройстве, весящем один грамм, то перечень простых чисел размером до 512 бит включительно весил бы столько, что масса хранилища превысила бы предел Чандрасекара, и оно сколлапсировало бы в черную дыру... в любом случае вы не сможете извлечь данные.

Но если так трудоемко разложение на множители, как может быть простой генерация простых чисел? Фокус в том, что ответить "да" или "нет" на вопрос "Является ли число n простым?" гораздо проще, чем ответить на более сложный вопрос "Каковы множители n?"

Генерация случайных чисел с последующей попыткой разложения их на множители - это неправильный способ поиска простых чисел. Существуют различные вероятностные проверки на простоту чисел, определяющие, является ли число простым, с заданной степенью достоверности. При условии, что эта "степень достоверности" достаточна велика, такие способы проверки достаточно хороши. Я слышал, что простые числа, генерированные таким образом называются "промышленно простыми числами": эти числа вероятно являются простыми с контролируемой возможностью ошибки.

Предположим, что одна проверка из 2⁵⁰ - ошибочна. Это означает, что с вероятностью 1/10¹⁵ проверка объявит простым составное число. (Простое число никогда не будет объявлено составным при проверке.) Если по какой-то причине понадобится большая достоверность простоты числа, уровень ошибки можно понизить. С другой стороны, если вы установите вероятность того, что число является составным, в 300 миллионов раз меньшей, чем вероятность выиграть главный приз в государственной лотерее, вы можете больше об этом не волноваться.

Обзоры недавних исследований в этой области можно найти в [1256, 206]. Другими важными работами являются [1490, 384, 11, 19, 626, 651, 911].