Изменяющими во времени

В модели время течет непрерывно, , и все параметры являются функциями времени: , , . Поскольку изменение цены происходит на стороне спроса, то спрос зависит от цены и ее изменения , а предложение зависит только от цены. В каждый момент времени спрос поглощает предложение, т.е. .

Используем линейные функции спроса и предложения в следующем виде: ; . Определим равновесные значения цены и объема, приравняв функции спроса и предложения:

. (1.4)

Так как в точке равновесия цена задана рынком, то Значения и в любой момент времени удовлетворяют равенству:

. (1.5)

Вычитаем из выражения (1.5) выражение (1.4) и получим:

.

Как и в дискретной модели вводим обозначение: . Тогда . В новых обозначениях выражение (1.5) принимает вид:

(1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка. Обозначаем , тогда . Имеем - дифференциальное уравнение относительно . Используя правило логарифмического дифференцирования, получим: . Решение имеет вид: . При , . Следовательно, . Зная начальную цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.

Устойчивость равновесия. Сдвиг равновесия. На рынке устанавливается равновесие, если спрос на товар равен его предложению. Объем продукта и его цену называют равновесными. Но равновесие устанавливается редко. Если рыночная цена больше равновесной цены, то на рынке образуется излишек товара; если цена меньше равновесной, то спрос превышает предложение и существует дефицит товара. Равновесие является устойчивым, если после его нарушения рынок приходит в состояние равновесия и устанавливаются прежние равновесные цена и объем. Если же после нарушения равновесия устанавливается новое равновесие (в новой точке), изменяется уровень цены и объема спроса-предложения, то такое равновесие является неустойчивым. Рассмотрим три случая устойчивости равновесия на примере паутинообразной модели.

Случай 1. Для нормального товара наклон кривой предложения положителен, наклон кривой спроса – отрицателен: ; . Если наклон кривой спроса больше наклона кривой предложения и , , то при , - бесконечно малая величина и система приходит в состояния равновесия. Равновесие при названных условиях устойчиво. Эта ситуация представлена на рисунке 1.

Случай 2. Если наклоны кривых спроса и предложения равны, хотя и различаются знаками, ; , то . Тогда ,

Рис. 2. Равномерные колебания цены и спроса-предложения
на рынке одного товара.

система характеризуется равномерными колебаниями цены и объема (рис.2). На рынке такая ситуация встречается крайне редко.

Случай 3. Если наклон кривой предложения в точке равновесия превышает абсолютное значение (значение по модулю) наклона кривой спроса , то , . Тогда при величина становится бесконечно большой, имеет место взрывное колебание и неустойчивое равновесие (рис. 3).

Рис. 3. Взрывное колебание.

Воздействие изменяющихся неценовых факторов спроса и предложения приводит к сдвигу равновесия. Возникшее новое равновесие может также описываться одним из трех вышеприведенных случаев.

1.3. Модель с включением запасов

В паутинообразной модели цена устанавливалась так, чтобы поглотить все предложение. Запасы товаров или отсутствовали или оставались неизменными. Модель можно расширить, учитывая наличие запасов. Можно выстроить следующую последовательность событий. Поставки товара вливаются в общую массу запасов, и фактический спрос удовлетворяется за счет запасов. В анализе появляется еще один субъект экономических отношений – продавцы товара. Таким образом, производители поставляют товар продавцам, имеющим запасы и реализующих товар, и покупатели. Действие модели начинается с продажи товара покупателям и установления цены в соответствии с размером запасов.

Для дискретного случая, если величина запасов в конце интервала составляет , то изменение запасов в течение этого интервала равно . В зависимости от особенностей установления цены, зависящей от величины запасов, можно построить несколько моделей.

Модель 1. В период продавцы устанавливают цену . Она больше цены , если в предшествующий период запасы уменьшились. Цена повышается пропорционально сокращению запасов: .

Модель 2. В период цена повышается, если в предшествующий период уровень запасов был ниже равновесного объема . Повышение цены пропорционально нехватке товаров до объема . Цена равна .

Модель 3 рассматривается в непрерывном анализе. В каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания цены пропорциональна скорости уменьшения запасов:

,

где - положительная величина. Используем линейные функции спроса и предложения: . Тогда имеем: или

(1.7)

В точке равновесия , поэтому

(1.8)

откуда находим равновесную цену .

Вычитаем из уравнения (1.7) уравнение (1.8), получим: . Введем обозначение , тогда . Уравнение модели приобретает вид: . Обозначим , тогда . В итоге имеем - дифференциальное уравнение относительно .

Используя правило логарифмического дифференцирования, нахождения производной логарифма сложной функции, получим: . Решение имеет вид: . При , . Следовательно, . Зная начальную цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.

В случае нормальных товаров , , и множитель при , стремится , а . Это справедливо для всех значений . Величина определяет скорость приспособления цены к изменению запасов. Чем больше , тем быстрее приближается к равновесной цене .

1.4. Устойчивость рыночного равновесия в концепции