Краткие сведения, необходимые для выполнения и защиты контрольной работы. 1.1.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики [1]

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами, называемыми таблицами межотраслевого баланса.

Предполагаем, что имеется 3 различных отрасли O ₁, O ₂, O ₃

каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Пусть промежуток времени служит плановый год. Введем следующие обозначения: x_i – общий объем продукции отрасли O_i за год (валовой выпуск отрасли); x_ij –объем продукции отрасли O_i, расходуемый отраслью O_j в процессе производства; y_i — объем продукции отрасли O_i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объем конечного потребления). В y_i входят запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей, поставки на экспорт. Указанные величины можно свести в таблицу.

Балансовый характер этой та6лицы выражается в том, что должно выполняться соотношение баланса

x_i = x_{i 1} + x_{i 2} + x_{i 3} + y_i

Экономист Леонтьев сделал допущение (гипотеза линейности): для выпуска любого объема x_j продукции O_j необходимо затратить продукцию О _i в количестве a_ij × x_j, где a_ij - постоянный коэффициент (коэффициент прямых затрат). Вектор = (x ₁, x ₂, x ₃) называется вектором валового выпуска, вектор = (y ₁, y ₂, y ₃) – вектором конечного потребления, а матрица – матрицей прямых затрат. Соотношение

(1)

называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией это соотношение (1) называют также моделью Леонтьева. Решение уравнения (1) в матричном виде:

(2)

Матрица A ≥ 0 (принимается, что все элементы матрицы неотрицательны) называется продуктивной, если для любого вектора y ≥ 0 существует решение x ≥ 0 уравнения (1). Известен второй критерий продуктивности: матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E – A)^–1 существует и неотрицательна. В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей A, тоже называется продуктивной.

Введем понятие собственных векторов и собственных значений матрицы A. Собственным значением матрицы называется число λ, удовлетворяющее уравнению

Û . (3)

Число собственных значений матрицы, при условии, что нет совпадающих значений, равно размерности матрицы (в данном случае - трем). Собственным вектором, отвечающим собственному значению (решение уравнения (3)), называется вектор , удовлетворяющий уравнению

Û (4)

где E - единичная матрица.

Числом Фробениуса F матрицы A называется максимальное из взятых по модулю собственных значений матрицы . Соответствующий этому собственному значению собственный вектор называется вектором Фробениуса

В частности, можно показать, что матрица A продуктивна при выполнении одного из следующих условий:

1) если сумма элементов любого столбца матрицы меньше единицы;

2) если число Фробениуса данной матрицы меньше единицы.

Поскольку для определения числа Фробениуса нужно только максимальное собственное значение положительной матрицы, эффективный способ вычисления F и дает алгоритм Ланцоша [ 2 ]. Из уравнения (4) следует, что

Û . (5)

Умножив последнее уравнение скалярно на вектор слева, получим , где круглыми скобками обозначено скалярное произведение. Окончательно,

(6)

Формулы (5) - (6) позволяют организовать итерационную процедуру вычисления собственного вектора и собственного значения. Пусть - некоторое начальное приближение для вектора Фробениуса. Положим для простоты модуль этого вектора равным 1: . Тогда соответствующее приближенное число Фробениуса вычисляется по формуле (6): . Следующее приближение для вектора запишем в виде (см. (5)) . Делить правую часть на не обязательно, поскольку вектор, как было условлено ранее, нормируется на 1. Продолжая процесс, получим последовательные приближения к числу и вектору Фробениуса. Заметим, что уравнения (5) и (6) справедливы для любого собственного значения и соответствующего вектора. Однако, в итерационном процессе последовательность значений сходится к F.

Зная число F, можно вычислить запас продуктивности матрицы. Запасом продуктивности матрицы A называется такое число a > 0, что все матрицы β A продуктивны, если β ≤ 1 + a и непродуктивны, если β > 1 + a. Матрица β A продуктивна, если матрица и обратная к ней имеют только положительные собственные значения. Поэтому особой точке отвечает такое значение β, при котором матрица B становится вырожденной, то есть имеет собственное значение равное нулю. Соответствующее уравнение Þ . Поскольку число Фробениуса есть максимальное из всех , постольку при возрастании β число есть наименьшее, при котором матрица B становится вырожденной. Следовательно, Þ .

Пример 1. Задана матрица межотраслевого баланса

и одно из собственных значений этой матрицы. Требуется найти: 1) собственные значения и собственные векторы матрицы, 2) число и вектор Фробениуса матрицы A, используя алгоритм Ланцоша, 3) запас продуктивности матрицы A.