Оценим стоимость готовой продукции, при изменении сырья каждого вида на заданную в условии величину

, - матрица, состоящая из столбцов первоначального базиса () последней симплекс-таблицы:

Получаем, ; ;.

.

Все компоненты вектора неотрицательны , то есть выполняется условие

Значит, при заданных изме­нениях запаса сырья двойственные оценки не изменятся. Это говорит о том, что первый и третий виды сырья будут использоваться полностью, поэтому первое и третье неравенства исходной системы с измененными правыми частями можно записать как систему уравнений: .

Подставляем новый план в целевую функцию: Z _{нов. max} (102;18)=25*102+17*18=2850 ден. ед.

1.7 Составим двойственную задачу.

2-ая теорема двойственности.

Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.

1-ая теорема двойственности.

Если одна из взаимодвойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их линейных функций равны: Z_max.

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи Y = C*A^-1.

Матрица A состоит из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A^-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен: y₁ = 2¹/₂; y₂ = 0; y₃ = 1.

Как видим, оптимальное решение двойственной находится в индексной строке последней симплекс-таблицы и столбцах, соответствующих первоначальному базису.

Z(Y) = 848*2¹/₂+532*0+432*1 = 2552. Получаем, что Z_max.

Теоремы двойственности выполняются.

Задача №2

По заданной таблице 5 ожидаемой прибыли как функции полных капиталовложений, используя метод динамического программирования, построить таблицу получения оптимальной прибыли от вложения капитала от 1 до 10 млн. ден. ед. в три фонда: А, В и С. По полученной таблице найти максимальную прибыль и распределение вложений в предприятия при наличии суммарного капитала величиной S =5 млн. ден. ед.

Таблица 5 – Данные к задаче №2

Вложения, млн.ден.ед.
А		0,20	0,33	0,42	0,48	0,53
B		0,25	0,41	0,55	0,65	0,75
C		0,29	0,46	0,58	0,64	0,70

Решение:

Примем следующие обозначения. Если j-ый фонд вкладывают - объем инвестиций, то прирост прибыли составит млн. ден.ед. Найдем такое распределение инвестиций между фондами, которое максимизирует прибыль.

Заполняем таблицу 2.2. Значения складываем со значениями и на каждой северо-восточной диаганали находим наибольшее число (выделено полужирным цветом) и указываем соответствующее значение .

Таблица 6 – Первый шаг

			0,20	0,33	0,42	0,48	0,53
			0,20	0,33	0,42	0,48	0,53
	0,20	0,25	0,45	0,58	0,67	0,73
	0,33	0,41	0,61	0,74	0,83
	0,42	0,55	0,75	0,88
	0,48	0,65	0,85
	0,53	0,75

Таблица 7 – Значения

		0,25	0,45	0,61	0,75	0,88

Таблица 8 – Вторая итерация

			0,25	0,45	0,61	0,75	0,88
			0,25	0,45	0,61	0,75	0,88
	0,29	0,29	0,54	0,74	0,9	1,04
	0,46	0,46	0,71	0,91	1,07
	0,58	0,58	0,83	1,03
	0,64	0,64	0,89
	0,70	0,7

Находим максимальный элемент на последней диаганали – 1,07.

Максимальная прибыль составляет 1,07 млн.ден.ед. При этом =2. Далее находим млн. ден.ед. Далее находим млн. ден.ед.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капиталовложений по фондам: в фонд А вложить 1 млн.ден.ед., в фонд В вложить 2 млн. ден.ед, а в фонд С вложить 2 млн. ден.ед. Данное распределение капиталовложений принесет максимальную прибыль в размере 1,07 млн. ден. ед.

Задача №3

Имеется 5 ракет и 5 целей. Вероятность поражения цели каждой из ракет задана в следующей таблице 9.

Таблица 9- Данные к задаче №3

Ракеты	Цели
	0,12	0,02	0,50	0,43	0,15
	0,71	0,18	0,81	0,05	0,26
	0,84	0,76	0,26	0,37	0,52
	0,22	0,45	0,83	0,81	0,65
	0,49	0,02	0,50	0,26	0,27

Распределите ракеты по целям так, чтобы математическое ожидание числа поражённых целей было максимальным.

Решение

Таблица 10- Обозначения

Ракеты	Цели
	Х11	Х12	Х13	Х14	Х15
	Х21	х22	Х23	Х24	Х25
	Х31	Х32	Х33	Х34	Х35
	Х41	Х42	Х43	Х44	Х45
	Х51	Х52	Х53	Х54	Х55

Примем, Х11-случайная величина того, что ракета 1 попала в цель 1; Х12-случайная величина того, что ракета 1 попала в цель 2 и.т д. Х21-случайная величина того, что ракета 2 попала в цель 1. Х22 - -случайная величина того, что ракета 2 попала в цель 2 и т. д.

Целевую функцию (математическое ожидание) необходимо максимизировать.

Составим ограничения.

Означает, что ракета 1 может попасть только в одну цель.

По аналогии для других ракет:

Отметим так же, что в одну цель может попасть только одна ракета.

то есть в цель 1 может попасть только одна из пяти ракет.

По аналогии для других целей.

Так же отметим что ;

Таким образом, постановка задачи в математической форме:

Так как размерность задачи большая, то решим ее с помощью MS Excel, с помощью «Поиска решения».

Рисунок 7 – Ввод данных на рабочий лист

Рисунок 8 – Вызов «Поиска решения»

Рисунок 9 – Результаты

Получаем, что ракета 1 должна стрелять в 4 цель; ракета 2 долна стрелять в третью цель; ракета 3 должна стрелять во 2 цель; ракета 4 должна стрелять в 5 цель; ракета 5 должна стрелять в 1 цель. Тогда математическое ожидание числа поражённых целей было максимальным 3,14.

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Наука, 1980. – 448 с.

2. Высшая математика для экономистов: практикум/под.ред. Н.Ш. Кремера – М.: Высшее образование, 2006. – 232 с.

3. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: Фмнстатинформ, 1999. – 540 с.