Моделирование сплошными геометрическими конструкциями

Объемная модель объекта. Процедура геометрического моделирования предполагает наличия библиотек моделей плоских и объемных примитивов отдельных строительных блоков, поверхности которых обычно описываются функциями первого и второго порядка, что обусловлено необходимостью аналитического нахождения границы пересечения светового луча с поверхностями.

Под объемным примитивом понимается конечное пространство, ограниченное одной или несколькими функционально описанными поверхностями. Например, в качестве примитива используется пространственный объем, ограниченный плоскостями – многоугольниками.

Под плоскими примитивами будем понимать часть плоскости, ограниченную замкнутой линией, состоящей из конечного числа прямолинейных или криволинейных участков. Для примитива характерно неизменное количество ограничивающих его тело поверхностей и стандартный вид функций, описывающих эти поверхности. Изменение пространственного расположения и ориентации примитива и изменение его формы достигается за счет варьирования параметрами функций.

Пространственные комбинации примитивов. При решении практических задач по синтезу изображений реальных объектов достаточно часто приходится сталкиваться с проблемой формирования моделей, в состав которых входят пространственные комбинации примитивов. Комбинации примитивов создают более сложные формы, обычно называемые блоками, которых в дальнейшем используют для построения изображения функциональной детали или целого узла. При комбинировании примитивов между ними допускаются следующие пространственные логические операции взаимодействия: “+” – объединения; “-” –вычитания; “&”- пересечения.

Объединением примитивов называется сложный примитив (блок) состоящий из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из примитивов a и b, то есть принадлежат примитиву a или b. Объединение примитивов a и b обозначается (·)AÎ(a+b), если (·)AÎ(a) OR (·)AÎ(b). На рис. 3.8 заштрихованная область изображает сложный примитив, полученный в результате объединения примитивов a и b. Понятие объединения распространяется и на большее число примитивов. Объединение этого множества примитивов представляет собой блок, состоящий из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному примитиву из множества объединяемых примитивов.

Пересечением примитивов a и b называется сложный примитив, содержащий те и только те элементы, которые принадлежат как примитиву a, так и примитиву b, то есть, каждая точка (·)AÎ(a&b), если (·)AÎ(a) AND (·)AÎ(b). Пересечение множества примитивов иногда называют произведением примитивов. Заметим, что понятие и операция произведение примитивов распространяется и на большее, чем два, число примитивов. На рис. 3.9 заштрихованная область представляет результат пересечения двух примитивов.

Операции объединения и пересечения обладают свойствами коммутативности и ассоциативности:

a+b)= (b+a)

(a+b)+d=a+(b+d)=a+b+d

и

a&b= b& a

(a&b)&d=a&(b&d)= a&b&d.

Разностью (вычитанием) примитивов a и b называется примитив (блок), состоящий из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат примитиву a и не принадлежат примитиву b, то есть (·)AÎ(a-b), если(·)AÎ(a) and (·)AÏ(b). Исходя из определения

a – b ¹ b – a.

На рисунке 3.10 показаны примитивы a и b и результат операции между ними (заштрихованная область).

Заметим, что множество примитивов a и b, все трехмерное пространство, пространство нулевого объема (пустое пространство) образуют булеву алгебру. Путем пространственного сложения (+), умножения (&), взятия дополнения (-) можно синтезировать комбинационный объект практически любой сложности из исходного состава примитивов, опираясь на основные теоремы булевой алгебры (таб. 3.4).

Таблица 3.4

	a+a=a
	a&a=a
	a+1=1
	a&0=0
	(a+b)+c=a+(b+c)	Ассоциативность
	(a&b)&c=a&(b&c)	Ассоциативность
	= &	Закон де Моргана
	= +	Закон де Моргана
	а+а&b=a

Формализованное описание объекта в виде правила комбинирования примитивов совместно с информацией о типах использованных примитивов, коэффициентах описания поверхности, ее оптических характеристиках составляет полное представление объекта.

Этот метод называют еще твердотельным моделированием. Метод представляет сложные объекты составленными из простых объемных примитивов (кубов, цилиндров, конусов, шаров и других им подобных). Булевы операции над ними позволяют достигать объединения, вычитания, пересечения и выделения общей части примитивов. Структуры данных модели этого вида идентична бинарному дереву. При этом построение и обработка дерева осуществляется снизу вверх. Узлы (нетерминальные вершины) дерева являются операторами над примитивами, а листья примитивами. Структура может быть усложнена внесением операторов переноса, поворота, масштабного преобразования. На рис. 3.11 показана возможность создания разных форм путемпространственной комбинации куба и шара.

К преимуществам этого подхода формирования модели можно отнести:

· концептуальная простота;

· малый объем требуемой памяти;

· принципиальная застрахованность от создания противоречивых конструкций;

· приспособленность к усложнению модели;

К недостаткам обычно относят:

· метод построения ограничен рамками булевых операций;

· требуются вычислительноемкие алгоритмы обработки;

· невозможность использования параметрически описываемых поверхностей;

· сложность создания и обработки объектов, поверхность которых описана функциями более чем второго порядка.

Составные геометрические модели (рис. 3.12) являются универсальными моделями сложных объемных фигур. Рассматриваемые нами модели для отображения графической информации – частные случаи таких моделей. Геометрических объект представляется замкнутым множеством точек, причем множество граничных точек образует поверхность, а множество внутренних точек – тело. Поверхность геометрического объекта представляется состоящей из нескольких граней, являющихся отсеками поверхностей. Границы грани задаются совокупностью ребер, проходящих между множеством вершин геометрического объекта в порядке обхода грани. Описание модели состоит из двух частей: координат вершин и топологии их соединения, заданной набором граней или граничных контуров в порядке их обхода. На основе таких моделей получаются базовые геометрические фигуры, и на основе их составляются более сложные геометрические объекты. Каждая базовая фигура описывается в собственной системе координат, одна из вершин фигуры помещается в начало координат и называется полюсом. Координаты остальных вершин рассчитываются относительно полюса. Составная геометрическая модель сложной фигуры создается в основной системе координат XYZ. Положение системы координат каждой базовой фигуры определяется координатами полюса и углами поворота между осями основной и собственной системой координат. Координаты вершин базовой фигуры в основной системе координат определяются соответствующими матрицами преобразования. Полученные параметры фигуры называются параметрами положения. Параметры, которые характеризуют форму базовой фигуры в собственной системе координат (длина отрезков, взаимное расположение граней и т.п.), называются параметрами формы. Составные модели применяются при решении задач размещения, и компоновки геометрических объектов на плоскости и в пространстве, в системах моделирования трехмерных объектов и др.