Интервальные оценки

Задача 1.

Дано:

Производительность труда, Х
Себестоимость продукции, У

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции между Х и У;

б) выборочный коэффициент детерминации;

в) проверить значимость генерального коэффициента корреляции при α=0,05;

г) с надежностью γ=0,95 найти границы доверительного интервала для генерального коэффициента корреляции.

Решение под а).

Найти надо , , , для этого продолжим таблицу: сумма

Производительность труда, Х
	25	16	9	400	100	225
Себестоимость продукции, У
	49	100	144	4	25	16
Хi Yi*	35	40	36	40	50	60

=6.2386 6.24 и =3.44

Найти выборочный (парный) коэф. корреляции – r.

Функции Excel:

1) Среднее арифметическое – СРЗНАЧ()

2) Выборочная дисперсия – ДИСПР(), а исправленная – ДИСП()

Вывод: отрицательная корреляция (обратная зависимость), т.е. корреляционное поле располагается как на рисунке 1. │r│→ 1, т.е. связь тесная.

Решение под б).

Выборочный коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:

r²= (-0,9221)²= 0.8503.

Т.е. 85,03% дисперсии одной случайной величины (производительности труда Х) обусловлено вариацией другой (себестоимость продукции У). Соответственно, 14,97% (=100-85,03) определяется остаточными факторами, не рассматриваемыми в данной двумерной модели.

Решение под в).

проверить значимость генерального коэффициента корреляции при α=0,05.

Выделяют 2 способа проверки гипотезы:

1. на основе таблицы Фишера-Иейтса (таблица 5).

находят по таблице r_кр(α; ν = n-2) и сравнивают рассчитанное значение r: если | r | > r_кр, то гипотеза Но отвергается, т.е. ρ – значим.

2. на основе t-критерия Стьюдента (таблица 2).

Рассчитывают статистику t_набл = и сравнивают с найденным по таблице 2 t_кр(α; ν = n -2): если | t_набл | > t_кр, то гипотеза Но отвергается, т.е. ρ – значим.

Проверим, значим ли наш коэффициент корреляции в задаче 1.

1-й способ: r_набл = -0,9221. Определим r_кр(α = 0,05; ν = n-2 = 4) = 0,811. (берем значения для двусторонних границ, т.к. односторонние границы для ρ<0 и ρ>0).

Сравниваем: т.к. | r_набл =-0,9221| > r_кр=0,811, то гипотеза Но отвергается, т.е. ρ – значим.

2-й способ: рассчитаем t_набл = , найдем по таблице t_кр(α = 0,05; ν = n -2 = 4) = 2,776 или СТЬЮДРАСПРОБР(α;ν).

Сравниваем: т.к. | t_набл =-4,7644| > t_кр=2,776 то гипотеза Но отвергается, т.е. ρ – значим.

Следовательно, коэффициент корреляции ρ значимо отличается от нуля и между изучаемыми переменными существует линейная корреляционная зависимость.

Решение под г).

с надежностью γ=0,95 найти границы доверительного интервала для генерального коэффициента корреляции, т.е. интервальную оценку.

Для двумерной корреляционной модели, если гипотеза Но: ρ = 0 отвергается, то параметры связи ρ, β_ху и β_ух считаются значимыми, и есть смысл найти интервальные оценки, которые с заданной надежность содержат истинные значения параметров. А для этого надо знать закон распределения выборочных оценок параметров. Плотность вероятности выборочного коэффициента корреляции (r) имеет сложный вид, поэтому используют специально подобранные функции от выборочного коэффициента корреляции, которые подчиняются хорошо изученным законам, например, нормальному или Стьюдента.

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

I При нахождении доверительного интервала для генерального коэффициента корреляции с надежностью γ чаще используют преобразование Фишера (или Z-преобразование): 1) и по таблице 6 определяют Zr;