Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Обозначение..
Замечание. Так как − абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый , для каждого вектора существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый , и для уравнение имеет единственное решение , называемое разностью и .
Свойствалинейного пространства.
1) выполняется .
2) выполняется .
3) выполняется .
4) выполняется .
5) .
6) .
7) .
Доказательство.
1) Так как в силу г) имеем . Аналогично, имеем .
2) В силу г) имеем в силу разности векторов .
3) Следует из 2) при .
4) Доказывается аналогично.
5) Если и , то умножая это равенство на получаем: и . Т.о., если , то . Обратное утверждение следует из 1).
6) Из .
7) Аналогично. ■
Примеры.
1) Если − поле и , то имеем − векторное пространство, называемое нулевым.
2) − векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел. − векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.
3) Множество матриц размера образует векторное пространство .
4) Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство .
5) Множество непрерывных на функций образует векторное пространство .
6) – n -мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:
;
.
Задача. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.
2о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.
Определение 2. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .
Определение 3. Вектора называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что
Теорема 1.
1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.
2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.
3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.
Доказательство.
1. Аналогично доказательству из §8.
2. Если и – любое, например, линейно зависимы.
3. Если – линейно зависимы, то одновременно неравные нулю, так что и хотя бы одно из отлично от нуля линейно зависимы. ч.т.д.
Пример. Рассмотрим линейное пространства и докажем, что n элементов из вида , ,…, линейно независимы, а добавление еще одного элемента приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е. – линейно независимы.
Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно, .
3о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.
Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в , если
1. вектора – линейно независимы;
2. для найдутся . (1)
При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .
Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.
Доказательство. Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости , что и требовалось доказать.
Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на , все координаты вектора умножаются на это число.
Доказательство. Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.
Примеры.
1. Базис в – любое ненулевое число.
2. . Базис образуют матрицы , , …, с одним единичным элементом.
3. – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .
4. – см. выше.
4о. Размерность линейного пространства.
Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если
1. В нем n линейно независимых векторов.
2. векторов линейно зависимы.
Тогда n называется размерностью и обозначается .
Определение 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов.
Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.
Теорема 4. Если – линейное пространство размерности n, то линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.
Доказательство. Пусть – система n линейно независимых векторов из . Если – любой вектор из , то по Def 6, вектора – линейно зависимы, т.е.
и среди есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что (т. к. иначе – линейно зависимы)
, т.е.
– линейная комбинация т. к. – произвольный, то –базис.
Теорема 5. Если имеет базис, состоящий из n элементов, то .
Доказательство. Пусть – базис в . Достаточно показать, что векторов линейно зависимы. Разложим их по базису:
,
…
,
где .
Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы
.
Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
5о. Изоморфизм линейных пространств.
Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.
Определение 6. Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при отвечает вектор .
Свойства изоморфных пространств.
1. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.
Доказательство: Если .
2. Если элементам соответствуют , то линейная комбинация векторов равна нулю V, т.е. линейная комбинация с теми же коэффициентами равна нулю, т.е. .
Доказательство следует из 1.
3. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.
4. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.
Теорема 6. Любые два –мерных линейных пространства V и над одним и тем же полем изоморфны.
Доказательство. Выберем в V базис − базис Каждому элементу , поставим в соответствие элемент с теми же координатами в базисе .
Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты , которые в свою очередь, определяют единственный элемент .
В силу равноправности V и , соответствует единственный . Легко видеть, что если в силу введенного соответствия.
Таким образомо все линейные пространства данной размерности –ная полем изоморфны, то есть их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.
Тема 5. Пространство геометрических векторов,
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!