Платежная матрица. Пример матричной игры

Функцию выигрыша представляют в виде матрицы выигрышей или платежной матрицей

A-B

А/B
		-1	-2
			-1

А+В

А/B
		-11
	-11
	-13

Amn (j) m –число строк

A ij (j) n - число столбцов

Aij (Am,n) – платежная матрица

V* -нижняя цена игры (гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока Б) для опред. необходимо найти min в каждой строке, а затем выделить среди них max знач.

V*- верхняя цена игры (величина являющаяся минимаксным значением платёжной матрицы)

Для опред. необходимо найти max в каждой строке и выделить среди них min значение.

V*-minmax Aij

Оптимальные стратегии игры, цена игры, седловая точка.

Если верхняя цена игры и нижняя цена игры равны между собой, то элемент матрицы является силовой точкой. Соответств. этой цене игры стратегии называют оптимальными. В такой игре первый игрок не может повысить верхнюю цену, а второй нижнюю.

Методы упрощения платежных матриц

Метод основанный на доминировании стратегии (дублированные строки снизу и меньшие значения в столбцах отбрасываются)

Метод аффинных преобразований A=>A’ (a’ij) a’ij=k*aij+b b=const

10. Смешанные стратегии (для не вполне определенных игровых задач)

Смешанная стратегия- совокупность комбинаций чистых стратегий (A1,A2…An) и (B1,B2…Bn) в сочетании с векторами вероятностей P и Q выбора каждой из стратегии.

Теорема Фон Неймана – каждая конечная матричная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение возможное среди смешанных стратегий (каждая не вполне опред. игра имеет оптимальное решение в смеш. стратегиях) P* Q* оптимальные смешанные стратегии при условии Ma (P,Q*) ≤Ma (P*,Q*)≤Ma(P*,Q)

Сред выигрыш опред мат. ожиданием

11. Игры с «природой», пример антагонистической игры.

«Природа»- как действительно природные процессы так и процессы другого рода (соц, экном)

Может выступать как антагонистическая или кооперативная сторона.

12. Игры с «природой». Задача принятия решений в условиях неопределенности

В условиях неопределенности можно оценить риск принятия того или иного решения используя матрицу рисков которая строится на основе матрицы возможных решений или последствий R=(rij) матрица рисков rij=qо-qij

13. Принятие решений в условиях полной неопределенности. (отсут. полезной инф.)

Правило (Вальда) крайнего пессимизма. рекомендует условие A io=max Ai = max (min) qij

Правило (Сэвиджа) минимального риска. решение bio =min bi=min (maxij)

Правило (Гурвица) взвешивающее оптимист. и пессимистич. подходы