Основные расчетные формулы

Абсолютной погрешностью измерения называется разность между измеренным значением физической величины X и ее истинным значением

s(X) = X_изм–X_ист. (1)

Относительной погрешностью измерения называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

. (2)

Относительная погрешность, по сути, является долей абсолютной погрешности от истинного значения измеряемой величины. Ее часто выражают в процентах, умножая выражение (2) на 100%.

Как определить DX, если истинное значение неизвестно? В первом приближении в качестве оценки истинного значения чаще всего принимают среднее арифметическое

. (3)

Тогда в качестве оценки абсолютной погрешности i-го измерения принимается величина

s_i(X) = X_i–X_ср. (4)

Каждое измерение дает значение определяемой величины с некоторой погрешностью s_i(X) (рисунок 2). Это значит, что истинное значение лежит в интервале

X_ср – s_i(X) £ X_ист£ X_ср + s_i(X). (5)

Рисунок 2 – Доверительный интервал

В случае, когда одно и тоже измерение проводится несколько раз, в качестве погрешности принимается некоторая усредненная, по всем i-м измерениям, оценка абсолютной погрешности.

Для характеристики измерительных приборов используется понятие приведенной погрешности g (класса точности). Класс точности – это отношение абсолютной погрешности s(X) к предельному значению (диапазону) X_д измеряемой величины (т.е. к наибольшему значению, которое может быть измерено по шкале прибора). Приведенная погрешность является по существу относительной погрешностью, выраженной в процентах от диапазона

. (6)

По приведенной погрешности приборы подразделяются на семь классов:

0,1; 0,2; 0,5 – лабораторные приборы;

1,0; 1,5; 2,5; 4 – технические приборы.

Здесь X – набор значений, которые мы получаем в результате измерений, X_ср – определяется по формуле (3), s(X) – среднеквадратичное отклонение

, (10)

где X_i – i-е измерение, n – количество измерений.

Среднеквадратичная погрешность.

. (11)

Существуют специальные таблицы (коэффициентов Стьюдента), по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал [±S], чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую доверительную вероятность P.

Для нахождения случайной погрешности используется выражение

s_случ(X)=t_P,n×S, (12)

где t_P,n – коэффициент Стьюдента. Этот коэффициент зависит от доверительной вероятности P и от количества измерений n и находится по таблице 1.

Таблица 1 – Таблица коэффициентов Стьюдента.

n	Доверительная вероятность, P
0,1	0,3	0,5	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
	0,16	0,51	1,0	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7
	0,14	0,45	0,82	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9	51,6
	0,14	0,42	0,77	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8	12,9
	0,13	0,41	0,74	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
	0,13	0,41	0,73	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	4,0	6,9
	0,13	0,40	0,72	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7	6,0
	0,13	0,40	0,71	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5	5,4
	0,13	0,40	0,71	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4	5,0
	0,13	0,40	0,70	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3	4,8

При проведении лабораторных работ, следует задавать доверительную вероятность P=0,95 и в зависимости от количества измерений выбирать коэффициент Стьюдента.

Абсолютная погрешность измерения оценивается по систематической и случайной погрешности

(13)

Объем параллелепипеда определяется косвенным методом по формуле

V=a∙b∙c, (14)

где a, b, c – длины граней параллелепипеда.

Абсолютная погрешность косвенного измерения объема тела определяется по формуле.

. (15)

Относительная e(V) погрешность измерения объема определяется по формуле.