Усилия в витке, катушке и между катушками

а. ЭДУ в витке

В ряде случаев токоведущая цепь аппарата выполняется в виде круговых витков или катушек (дугогасительные катушки контак­тов, автоматов, трансформаторы тока, реакторы).

При протекании токов короткого замыкания ЭДУ возникают как в самих витках и катушках, так и между витками и катушками соседних фаз.

Оценим величину силы в круговом витке (см. рис. 1.2). Ин­дуктивность такого витка с точностью до 1% (при условии, что выражается формулой

гн. (1.35)

Поскольку известна аналитическая зависимость индуктивности от размеров витка при определении ЭДУ целесообразно восполь­зоваться энергетическим методом. Как было показано в разделе 1.2, ЭДУ были направлены по радиусу:

(1.36)

Воспользовавшись уравнениями (1.25) и (1.35), получим

н. (1.37)

Сила приложена к окружности длиной . При расчете электродинамической устойчивости необходимо знать силу , разрывающую виток. Для определения , рас­смотрим уравнение рав­новесия полувитка (рис. 1.8).

Рис. 1.8. К расчету силы, разрывающей круговой виток

Очевидно, что

(1.38)

где — сила, действую­щая на единицу длины, равная

После интегрирования получим, что

н. (1.39)

Механические напряжения растяжения, возникающие в се­чении витка от этой силы, не должны превышать допустимых ве­личин.

В том случае, когда обмотка имеет w витков, то индуктивность, а следовательно, и сила возрастут пропорционально квадрату числа витков:

н.(1.40)

где r — радиус сечения обмотки, состоящей из ω витков.

Если круговой виток, обтекаемый током, находится в магнит­ном поле, создаваемом другими проводниками, то, кроме внутрен­них сил, возникает дополнительная сила в результате взаимодей­ствия витка с внешним полем.

б. Усилие взаимодействия между витками и катушками

Рассмотрим силу взаимодействия двух круговых витков (рис. 1.9). Если расстояние между витками h, соизмеримое с диаметрами 2R₁ и 2R₂, мало отличается от R_lt то взаимоиндуктивность может быть выражена формулой

, (1.41)

где с = R₂ — R_1.

Вертикальную составляющую F_h силы взаимодействия между витками определим, воспользовавшись энергетической формулой, поскольку известна зависимость

:

или

н.

Знак «минус» говорит о том, что с ростом расстояния h взаимоин­дуктивность уменьшается. Сила взаимодействия зависит от с = R₂ — R₁ и достигает максимума при с = 0, тогда

Рис. 1.9. Взаимодействие двух круговых витков, обтекаемых током

Рис. 1.10. Кривые Двайта для определения производной

h – высота катушек, D – средний диаметр

т. е. витки взаимодействуют так же, как два параллельных про­водника длиной 2πR на расстоянии h между собой.

Направление силы можно определить следующим образом: если потоки, создаваемые витками, направлены в одну сторону, то витки будут притягиваться (максимальное значение потокосцепления возникает при совпадении контуров). Если потоки контуров направлены в разные стороны, то витки будут отталкиваться (мак­симальное потокосцепление системы возникает при бесконечном удалении контуров друг от друга).

Следует отметить, что, кроме силы F_h, на витки действует еще и радиальная сила от собственного тока и от взаимодействия этого тока с продольной составляющей поля, создаваемого другим вит­ком. Поскольку зависимость М = f (R1, R2) известна, то для оп­ределения второй силы целесообразно воспользоваться энергети­ческими формулами:

; .

в. Взаимодействие цилиндрических катушек

Для расчета сил, действующих между цилиндрическими ка­тушками, удобно пользоваться энергетической формулой:

;

Производную определяем с помощью семейства кривых Двайта, представленных на рис. 1.10. Эти кривые справедливы для катушек, у которых :

;

1.6. Усилия в месте изменения сечения проводника

При протекании тока по цилиндрическому проводнику на от­дельные нити тока действуют ЭДУ, стремящиеся переместить эту нить к центру проводника. Поскольку все линии тока верти­кальны, а индукция в любой точке проводника направлена по ка­сательной, то сила, действующая на элементарные нити, направ­лена по радиусу и не имеет осевой составляющей.

При изменении сечения проводника линии тока искривляются и, кроме поперечной сжимающей силы, возникает продольная, стре­мящаяся разорвать место перехода вдоль оси проводника. Как видно из рис. 1.11, сила, возникающая в месте перехода, направ­лена в сторону большего сечения.

н. (1.42)

Следует отметить, что эта формула справедлива для любого сим­метричного перехода от сечения с радиусом r_к к сечению с радиу­сом r_н. Так, в случае многократного конуса

(1.43)

где r_к — радиус конечного сечения;

r_н — радиус начального сечения.

Плавный переход от одного сечения к другому можно рассматри­вать как переход, образованный большим числом конусных перехо­дов. Таким образом, электродинамическая сила, возникающая при изменении сечения, зависит только от отношения конечного и началь­ного радиусов и не зависит от формы перехода. Этот вывод справед­лив для равномерного распределения тока по сечению проводника.

Известно, что в электрическом контакте при переходе тока из одного контакта в другой происходит искривление линий тока,

аналогичное показанному на рис. 1.11. Для одноточечного контакта касание контактов происходит по площадке смятия. Если положить, что эта площадка находится в цент­ре цилиндрических проводников, то сила, действующая на каждый кон­такт, может быть рассчитана по формуле

(1.44)

где r — радиус цилиндрического контакта;

r_к — радиус круглой площадки касания.

При номинальном токе эта отбрасывающая сила ничтожна. При коротком замыкании в одноточечном контакте отбрасывающая сила может достигать сотен ньютонов.

Для того чтобы контакт был динамически устойчив, сила нажа­тия должна быть больше силы отброса.

В реальных контактах, кроме силы отброса, возникающей из-за изменения сечения проводника, появляется дополнительное ЭДУ за счет взаимодействий, создаваемых токоведущим контуром.

Рис. 1.11. Электродинамические силы, действующие в месте изменения поперечного сечения проводника