Модуль 3. Матрицы. Определители. Решение СЛАУ

1. определения матриц. Типы квадратных матриц. Степень матриц.
2. линейные операции над матрицами. Свойства.
3. умножение матриц. Свойства. Коммутатор и антикоммутатор.
4. действия транспонирования и сопряжения. Свойства.
5. перестановки и подстановки.
6. определители и свойства определителей (1-6).
7. минор, алгебраическое дополнение. Свойства определителей (7-10).
8. элементарные преобразования определителей.
9. обратная матрица. Теорема существования.
10. обратная матрица. Теорема единственности. Методы вычисления.
11. обращение матриц. Свойства.
12. СЛАУ. Основные определения. Условие существования единственного решения. Формулы Крамера.
13. миноры. 1-ое определения ранга матрица.
14. линейная зависимость и независимость строк (столбцов). 2-ое и 3-е определения ранга матрицы.
15. теорема о базисном миноре.
16. критерий совместности СЛАУ.
17. однородные системы. Критерий существования нетривиального решения.
18. структура общего решения.
19. фундаментальная система решений.
20. неоднородные системы. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Дополнительные вопросы и задачи

1. какого вида будет матрица , если сама матрица является: единичной, нулевой, верхней треугольной, нижней треугольной, трехдиагональной, диагональной?
2. показать, что для любой матрицы определены произведения .
3. привести примеры ненулевых квадратных матриц третьего порядка, для которых .
4. доказать, что если две матрицы перестановочны, то они квадратные и одного порядка.
5. являются ли симметрическими следующие матрицы: единичная, квадратная нулевая, нулевая. Какие из этих матриц являются кососимметрическими?
6. доказать, что если матрица является одновременно и симметрической, и кососимметрической, то она квадратная нулевая.
7. построить пример ступенчатых матриц , сумма которых не является ступенчатой матрицы.
8. представить элементарные преобразования столбцов матриц как умножение преобразуемой матрицы справа на матрицы специального вида.
9. определено ли произведение , если - матрица – столбец, а - матрица – строка.
10. можно ли произвольную квадратную матрицу представить в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц? Если такое представление существует, то единственно ли оно?
11. для каких матриц выполнено равенство: а) ; б) ?
12. существую ли матрицы , удовлетворяющие равенству: а) ; б) ?
13. доказать, что для любой матрицы , матрица - симметрическая, а - кососимметрической.
14. доказать, что сумма и произведение двух верхних (нижних) треугольных матриц есть верхняя (нижняя) треугольная матрица. Чему равны диагональные элементы у произведения двух верхних (нижних) треугольных матриц?