Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, у которых амплитуды из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени убывают.
Вид закономерностей затухания колебаний задается свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, параметры которых, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса остаются неизменными.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как

где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
— амплитуда затухающих колебаний, промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше, называется временем релаксации.

— логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.
Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна

(так как затухание мало (ω₀² >> σ²), то T принято равным Т₀).
1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника массой m, который совершает малые колебания под действием упругой силы F= -kx, сила трения прямо пропорциональна скорости.
Добротность пружинного маятника

.
2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R≠0), как известно

Учитывая формулу собственной частоты колебательного контура и принимая коэффициент затухания равным
Добротность колебательного контура.