Нелинейные функции

Предположим, что истинная модель имеет нелинейную форму (8.10) и что для определенности β положительна; таким образом, у является возрастающей функцией от х:

. (8.10)

Мультипликативный случайный член увеличивает или уменьшает у в со­ответствующей случайной пропорции. Распределение вероятностей одинако­во для всех наблюдений, что означает, например, что вероятность возрастания у на 2% под действием этой величины одинакова, независимо от того, являет­ся ли х малым или большим. Тем не менее, абсолютная величина прироста y на 2% оказывается большей, когда х принимает высокие, а не низкие значения. Следовательно, будет проявляться тенденция к более сильному разбросу на­блюдений вокруг истинной зависимости по мере увеличения х, и линейная регрессионная зависимость у от х может, следовательно, показывать гетероскедастичность.

Решением здесь, конечно, является переход к логарифмической регрессии. Это не только было бы более подходящей математической спецификацией, но и сделало бы модель регрессии гомоскедастичной:

. (8.11)

Случайный член теперь воздействует на зависимую переменную ln у ад­дитивно, поэтому абсолютная величина его воздействия не зависит от величи­ны ln х.

Имеет ли в действительности значение гетероскедастичность?

Ответ на этот вопрос зависит от степени варьирования наблюдаемых значе­ний объясняющих переменных (предполагается, что их разброс является ори­ентиром для определения величины стандартных ошибок случайного члена). Некоторые вычисления, выполненные Р. Гири (Geary, 1966), показывают, что если стандартное отклонение случайного члена пропорционально значениям объясняющей переменной в парной регрессии, то дисперсия оценки коэф­фициента наклона может быть в три раза больше при использовании обыч­ного МНК по сравнению с тем случаем, когда делается поправка на гетерос­кедастичность.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения гетероскедастичности и гомоскедастичности.

2. Какое из условий Гаусса-Маркова не выполняется в случае гетероскедастичности?

3. Каковы возможные отрицательные последствия гетероскедастичности?

4. Какие тесты на выявление гетероскедастичности Вам известны?

5. Что можно сделать в случае гетероскедастичности?