Замещающие переменные

Часто бывает, что вы не можете найти данных по переменной, которую хо­телось бы включить в уравнение регрессии. Некоторые переменные, относящи­еся к социально-экономическому положению или к качеству образования, имеют такое расплывчатое определение, что их в принципе даже невозможно изме­рить. Другие могут поддаваться измерению, но оно требует столько времени и энергии, что на практике их приходится отбрасывать. Иногда вы можете быть расстроены тем, что пользуетесь какими-то данными, собранными другим че­ловеком, в которых (с вашей точки зрения) опущена важная переменная.

Независимо от причины обычно бывает полезно вместо отсутствующей пе­ременной использовать некоторый ее заменитель (proxy), а не пренебрегать ею совершенно. В качестве показателя общего социально-экономического положе­ния вы можете использовать его заменитель — показатель дохода, если данные о нем имеются. В качестве показателя качества образования можно использовать отношение числа преподавателей и сотрудников к числу студентов или расхо­ды на одного студента. Вместо переменной, опущенной в каком-либо обзоре, вы можете обратиться к другим, уже фактически собранным данным, если в них имеется подходящая замещающая переменная.

Имеются две причины для поиска такой переменной. Во-первых, если вы просто опустите важную переменную, то регрессия может пострадать от сме­щения оценок, и статистическая проверка будет не­полноценной. Во-вторых, результаты оценки регрессии с включением замеща­ющей переменной могут дать косвенную информацию о той переменной, ко­торая замещена данной переменной.

Пример. Замещающая переменная для показателя дохода в функции спроса

Рассмотрим модель, свя­зывающую расходы потребителя на питание (у) с располагаемым личным до­ ходом (х) и с относительной ценой продовольствия (p):

, (12)

и предположим, что по какой-то причине мы не имеем доступа к данным о располагаемом личном доходе. Допустим, что нам, тем не менее, хотелось бы получить оценку ценовой эластичности спроса. Как мы видели в разделе 2, парная регрессия между ln у и ln p дает сме­щенную оценку величины , при этом тестовые статистики оказываются некорректными. Пусть, однако, мы считаем (и считаем правильно), что ln x име­ет ярко выраженный временной тренд. В этом случае мы могли бы частично ре­шить проблему путем использования времени в качестве замещающей перемен­ной для х, построив регрессию:

(13)

Таблица 2

Объясняющие переменные	Оценки коэффициентов (стандартные ошибки)	R2
b1	b2	b3
ln x, ln p	0,64 (0,03)	-0,48 (0,12)	-	0,99
ln p	-	2,04 (0,33)	-	0,63
ln p, t	-	-0,47 (0,13)	0,023 (0,001)	0,98

В табл. 2 даны результаты, полученные: 1) для правильно специфицирован­ной регрессии между ln у, ln x и ln p; 2) для неправильно специфицирован­ной парной регрессии только между ln y и ln p; 3) для множественной рег­рессии при использовании t в качестве замещающей переменной для ln х (с указанием стандартных ошибок в скобках).

Во второй регрессии при невключении в уравнение ln x оценка ценовой эластичности спроса настолько сильно смещается вверх, что становится поло­жительной, а уровень коэффициента R² значительно ниже, чем в первой рег­рессии. В третьей регрессии введение t явно устраняет смещение в оценке цено­вой эластичности, а коэффициент R² восстанавливается до предшествующего высокого уровня. Устранение смещения вызывается тем, что t в этом случае бе­рет на себя роль замещающей переменной для отсутствующего ln x, оставляя для ln p выполнение только собственных функций. Почти полное восстановле­ние коэффициента R² до предыдущего уровня можно объяснить тем, что вели­чина t значительно лучше выполняет роль замещающей переменной для отсут­ствующего показателя ln x, чем ln p.

Обобщение

Теперь мы можем обобщить сделанные выводы. Предположим, что истин­ной моделью является

(14)

и допустим, что мы не имеем данных по переменной х ₁ но другая переменная (z) выступает идеальным заменителем для нее в том смысле, что имеется стро­гая линейная связь между величинами х ₁ и z:

, (15)

где и являются постоянными, но неизвестными величинами. (Заметьте, что если бы и были известными, то мы могли бы вычислить х ₁ по величине z и тогда не было бы необходимости использовать z в качестве замещающей пере­менной для нее. Заметьте также, что мы не можем оценить величины и по­средством регрессионного анализа, поскольку для этого потребовались бы дан­ные по величине х ₁.) Если мы построим регрессию

, (16)

то оценки величин b₂,..., b_k, их стандартные ошибки и коэффициент R² будут такими же, какими они были бы при наличии возможности построения рег­рессии с использованием x ₁. Единственным недостатком является то, что нет оценок коэффициента при самой величине х ₁, а величина а не является оцен­кой . Коэффициент с будет оценкой величины . Для того чтобы получить оценку , нужно разделить величину с на . Зачастую вы можете не иметь пред­ставления о величине , и тогда на этом дело будет закончено. Но иногда вы сможете сделать о ней субъективное предположение на основе опыта, интуи­ции или логики.

Например, предположим, что вы исследуете вопрос об «утечке мозгов» из страны А в страну В и используете (весьма наивную) модель:

, (17) где у — показатель относительного уровня миграции определенного вида тру­довых ресурсов из страны А в страну В; х — показатель отношения уровня зара­ботной платы в стране В к заработной плате в стране А. Вы полагаете, что при более высокой разнице в заработной плате будет более высокой и миграция. Од­нако предположим, что у вас есть данные только по валовому внутреннему про­дукту (ВВП) на душу населения, но не по заработной плате. В этом случае мож­но ввести замещающую переменную p, которая является отношением ВВП стра­ны В к ВВП страны А.

В этом случае в качестве первого приближения было бы разумно предполо­жить, что относительные уровни заработной платы пропорциональны относи­тельным величинам ВВП. Если бы эта зависимость была строгой, то уравнение (15) можно было бы записать с величиной , равной нулю, и величиной , равной единице. Отсюда с — коэффициент при относительном ВВП дал бы не­ посредственную оценку величины — коэффициента при относительной зара­ботной плате. Поскольку переменные в регрессионном анализе зачастую опре­деляются в относительной форме, то этот частный случай в действительности имеет широкое применение.

В данном рассуждении мы приняли, что z является идеальной замещающей переменной для х, и справедливость всех приведенных выше результатов зави­сит именно от этого условия. На практике обычно невозможно найти замещаю­щую переменную, имеющую строгую линейную связь с недостающей перемен­ной. Но если связь близка к линейной, то результаты будут приблизительно на том же уровне. Основной проблемой является отсутствие средств для проверки того, удовлетворительно или нет выполняется указанное условие. Здесь прихо­дится оправдывать использование замещающей переменной на основе субъек­тивных критериев.

Непреднамеренное использование замещающих переменных.

Иногда случается, что вы используете замещающую переменную, не осоз­навая этого. Вы полагаете, что у зависит от z, а в действительности эта величи­на зависит от х. Если корреляция между величинами z и х незначительна, то результаты бу­дут плохими, и вы поймете, что тут что-то неладно. Но если корреляция тес­ная, то результаты окажутся удовлетворительными (коэффициент R² будет бли­зок к желаемому уровню и т. п.), и вы можете даже не подозревать, что полу­ченное соотношение неверно. Имеет ли это какое-то значение? Это, во-первых, зависит от того, с какой целью вы строите данную регрессию. Если целью оценивания регрессии явля­ется предсказание будущих значений величины у, то использование замещаю­щей переменной не будет иметь большого значения при условии, конечно, что корреляция тесная и не является в то же время статистической счастливой слу­чайностью. Однако если вы намерены использовать объясняющую переменную в качестве инструмента экономической политики для оказания влияния на по­ ведение зависимой переменной, то последствия могут оказаться катастрофи­ческими. Если только не будет функциональной связи между замещающей пе­ременной и истинной объясняющей переменной, манипулирование замещаю­щей переменной не окажет никакого влияния на зависимую переменную. Если мотивом построения регрессии является чисто научное любопытство, то исход будет столь же неудовлетворительным. Непреднамеренное использование замещающих переменных особенно рас­пространено при анализе временных рядов, в частности в макроэкономических моделях. Если истинная объясняющая переменная имеет временной тренд, то вы, вероятно, получите хорошую оценку формулы, если замените (преднаме­ренно или нет) ее на любую другую переменную с временным трендом. Даже если вы связываете приращения зависимой переменной с приращениями объяс­няющей переменной, вы, вероятно, получите аналогичные результаты незави­симо от того, используется ли правильная объясняющая переменная или же замещающая переменная, поскольку макроэкономические переменные обыч­но изменяются взаимосвязано, в соответствии с экономическим циклом.

Контрольные вопросы

1. Каковы последствия неправильной спецификации модели?

2. К чему приводит отсутствие в уравнении существенной независимой переменной?