Уравнение состояния идеального газа

Рассмотрим возникновение давления газа на стенку сосуда, в котором он содержится, на примере идеального газа, находящегося в состоянии равновесия. В модели идеального газа предполагается следующее:

1. размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними (это значит, что собственным объемом молекул можно пренебречь по сравнению с объемом, в котором он содержится, т.е. это достаточно разреженный газ).

2. взаимодействие между молекулами происходит непосредственно в момент столкновения и причем по законам абсолютно упругого удара (иными словами: силы действуют в момент непосредственного контакта).

Давление газа на стенку сосуда обусловлено взаимодействием с нею молекул газа. В процессе этого взаимодействия импульсы частиц изменяются и стенка получает импульс, равный изменению импульса частиц. Сила, на нее действовавшая, равна изменению импульса всех частиц, провзаимодействовавших со стенкой в единицу времени. Усреднив силу, действующую на единицу площади, получим давление.

Начнем с определения изменения импульса одной частицы. Рассмотрим частицу, движущуюся под произвольным углом к стенке (см. рис.). Т.к взаимодействие происходит по закону абсолютно упругого столкновения, молекула отразится от стенки под тем же углом. Разложим импульс на две составляющие: перпендикулярную к стенке и лежащую в плоскости стенки .

Систему координат выберем следующим образом: ось ОХ направим перпендикулярно стенке, а оси ОY и OZ лежат в плоскости стенки. В результате столкновения перпендикулярная составляющая импульса, не изменяясь по модулю, изменит направление на противоположное, а продольная составляющая импульса не изменится вообще. Таким образом, изменение Х-составляющей импульса одной частицы, в результате ее взаимодействия со стенкой, есть:

. (I.1)

В соответствии с третьим законом Ньютона стенка получает равный, но противоположно направленный импульс силы:

. (I.2)

Здесь m - масса одной молекулы. Будем считать, что газ состоит из одинаковых молекул. Чтобы найти импульс получаемый стенкой за время , необходимо (I.2) умножить на число частиц, которые провзаимодействуют со стенкой за этот промежуток времени.

До стенки за время могут дойти частицы, находящиеся от нее на расстоянии не большем чем , т.е. со стенкой могут провзаимодействовать частицы, содержащиеся в объеме . Если концентрация молекул n, то всего в этом объеме содержится - молекул.

Газ находится в состоянии равновесия, т.е. все направления движения молекул равновероятны. Значит, половина всех частиц, имеющих отличную от нуля X - проекцию скорости, движется к стенке, а вторая от нее. Таким образом, за указанный промежуток времени со стенкой провзаимодействует:

. (II.3)

Полный импульс, полученный стенкой будет:

. (II.4)

Используя (I.4)легко найти среднюю силу:

(II.5)

Учитывая, что в силу равноправности всех направлений движения , получим:

, (II.6)

где - средняя кинетическая энергия молекул. Уравнение (I.6) впервые было получено Клаузиусом в 1857 г. и называется уравнением Клаузиуса или основным уравнением молекулярно-кинетической теории.

Вспомним, что с точки зрения термодинамики

(I.7)

Подставляя(I.7) в (I.6) найдем:

P = nkT

Уравнение (I.8) называется уравнением состояния идеального газа. Ему можно придать различную форму, если вспомнить, что: n = N / V, N = nN _A, N _A× k = R, n = m / m, где N – полное число частиц в системе, V – объем занимаемый идеальным газом, N_A – число Авагадро, n - количество вещества, R – универсальная газовая постоянная, m – масса газа, m - его молярная масса.

PV = nN _A× k T (I.9)

PV = nR T

Введем понятие изопроцессов – это процессы протекающие при постоянстве одного из параметров.

Существуют: изобарный процесс – р=const, изотермический Т=const, изохорный V=const.

Сформулировать законы и построить графики.