Методы решения систем линейных уравнений

Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными x,y,z

можно найти с помощью формул Крамера.

х = ; y = ; z = ,

где D = , Dx = ; Dу= ;Dz= ,

При D ¹ 0 система имеет единственное решение. Если D = 0,то исходная система либо неопределенная, либо несовместная.

Пример. Решить систему линейных уравнений.

Решение:

D = = 14, Dx= = 14, Dу = = 28, Dz = = 42.

х = = =1; y = = = 2; z = = =3.

Метод Гаусса. Одним из способов решения линейных уравнений является метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных. Этот метод заключается в преобразовании системы линейных уравнений к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему, а матрицу из коэффициентов и свободных членов. Переход от одной матрицы к другой будем осуществлять при помощи знака эквивалентности «~». Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приведется к треугольной, т.е. к такой, в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное. В случае неопределенной – более одного неизвестного.

Общее решение строят из исходной системы уравнений с помощью элементарных преобразований, под которыми понимается любое из следующих действий:

1) вычеркивание уравнения, у которого все коэффи­циенты при неизвестных и свободный член равны нулю;

2) умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;

3) замена 1-го уравнения системы уравнением, которое получается путем прибавления к 1-му уравнению системы ее n -го уравнения, умноженного на число.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

.

Решение:

~ ~ ~ ~

Система приведена к треугольному виду. Запишем полученную систему:

Þ .