Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Лекция 7.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Производная, её механический, экономический и геометрический смысл.Правила дифференцирования.

Цель: Четкое представление понятия производной, её механического, экономического, геометрического смысла. Умение составить уравнение касательной к кривой. Понимание правил дифференцирования.

Задача: Овладение техникой дифференцирования.

7.1. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, её механический, экономический и геометрический смысл.

7.2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

7.3. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Определение производной.

Задача 1. Скорость прямолинейного неравномерного движения.

Пусть точка движется прямолинейно, неравномерно и известен закон движения S=S(t). Требуется найти мгновенную скорость точки.

Очевидно, к моменту времени t пройден путь S(t ). К моменту времени t= t + пройден путь S(t)=S(t + ). за промежуток времени пройден путь =S(t)-S(t ) или + )- S(t ). Средняя скорость в течение промежутка времени Vср= .

При малых значениях можно принять V() Vср.

Мгновенная скорость: V()= Vср= (7.1)

Задача 2. О производительности труда.

Пусть функция u(t) определяет количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент времени t . За период времени t – t = Δt произведено продукции Δu = u(t + Δt) – u(t ).

- средняя производительность труда в промежутке времени [t , t]. При малых Δt Z(t ) Zср= .

Z(t )= (7.2)

Задача 3. Линейная плотность стержня при неравномерном распределении массы.

p(x )= pср = (7.3)

Задача 4. О касательной к кривой.

Пусть точка М (х у ) принадлежит кривой у=f(x). М(х,у)-произвольная точка на кривой. Пусть Δх → 0. Тогда х → х и точка М по кривой приближается к точке М .Секущая М М поворачивается вокруг точки М , стремясь занять положение касательной М Т.

В этом случае α→ φ, tg

Kkac= (7.4)

Рассматривая четыре различные по смысловому содержанию задачи, обнаруживаем, что они совершенно одинаковы по математической структуре: находим

1. Значение некоторой величины в начальный момент(или в начальной точке);

2. Приращение этой величины в зависимости от приращения аргумента( S, );

3. Среднюю скорость изменения этой величины ();

4. Переходим к пределу.

Эти пределы играют чрезвычайно важную роль в математическом анализе и вообще в математике, являясь основным понятием теории дифференциального исчисления.

Замечание. Любое изменение одной величии относительно другой можно понимать как движение (прогресс).

Под скоростью движения понимается изменение одной величины, отнесенное к единице другой величины.

Рассмотрим произвольную функцию y=f(x).

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х и некоторой её окрестности. Если аргумент х получил приращение х, то функция получила приращение у.

Согласно схеме (1)-(4)можно составить отношение .

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует) называется производной функции f(x).

(7.5)

Операция отыскания производной называется дифференцированием функции. Функция, имеющая в точке х производную, называется дифференцируемой в этой точке. Раздел математики, занимающийся теорией производных, называется дифференциальным исчислением.

В соответствии с определением производной и пределами (1)-(4) следует:

V()= ; ρ k=

(7.6)

Из (7.6) следует:

· С механической точки зрения: -мгновенная скорость движения в момент времени ;

· Экономический смысл производной: -мгновенная производительность труда ;

· Геометрический смысл производной: - угловой коэффициент касательной к кривой в точке М .

Уравнение касательной к кривой в точке М имеет вид:

. (7.7)

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в точке , то она в ней непрерывна.

Доказательство. Функция у=f(x) дифференцируема в точке ,следовательно существует:

В этом случае ,откуда получаем

,

Следовательно ,

Т.е у=f(x) непрерывна в точке .

Таким образом, дифференцируемость функции есть достаточное условие непрерывности функции (из дифференцируемости функции следует её непрерывность).

Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности не вытекает дифференцируемость функции.

Например, у=|х|. (Рис.7.2.3)

Рис.7.2.3

Найдем .

Если >0, то

Если <0,то .

не существует.

Функция у= в точке х=0 непрерывна, но не дифференцируема (нет единственной касательной). Непрерывность- необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости.

Рис 7.1.4

Функции, представленные на рис 7.1.4 не дифференцируемы, в точках хотя и непрерывны.

Условие дифференцируемости соответствует условию гладкости кривой.