Деление окружности на равные части. Построение правильных многоугольников

Деление окружности на равные части позволяет строить правильные вписанные или описанные многоугольники. Рассмотрим примеры деления окружностей на равные части и построения правильных вписанных многоугольников.

Деление окружности на три равные части. Чтобы найти точки деления окружности радиуса R на три равные части, из конца диаметра, например из точки В (рис. 1.12, а), проводят дугу того же радиуса. Эта дуга в точках пересечения с данной окружностью дает точки 1 и 2. Третьей точкой деления будет точка на противоположном конце того же диаметра (в данном примере — точка А). Эти построения можно выполнять с помощью угольника с углами 60 и 30°. Гипотенуза угольника должна проходить через точку О (рис. 1.12, б).

Деление окружности на шесть равных частей. Из концов любого диаметра, например АВ (рис. 1.13, а), проводят две дуги того же радиуса, что и радиус заданной окружности. Точки пересечения дуг с заданной окружностью — точки 1, 2, 3, 4 — вместе с концевыми точками А и В будут искомыми точками деления.

Аналогичные построения выполняют с помощью угольника с углами' 30 и 60° (рис. 1.13, б). Гипотенуза угольника, проходящая через центр окружности, на пересечении с ней даст искомые точки 1 и 3. Меняя положение угольника, на пересечении гипотенузы с окружностью получаем точки 2 и 4.

Деление окружности на четыре равные части. В окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис. 1.14, а). Стороны вписанного в окружность квадрата пройдут через точки А, В, С и D.

Если требуется расположить квадрат, вписанный в окружность так, чтобы стороны квадрата располагались параллельно диаметрам АВ и CD (рис. 1.14, б), делят каждый из четырех прямых углов, имеющих общую вершину в точке О, пополам. Из точек А, В, С и D проводят дуги радиусом R', немного большим половин дуг, стягивающих концевые точки диаметров АВ и CD.

Аналогичные построения выполняют с помощью угольника с углами 45° (рис. 1.14, в). Гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности — точку О.

Деление окружности на пять и десять равных частей. В окружности (рис. 1.15, а) проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Затем делят отрезок OD пополам (OK = KD). Из точки К проводят дугу радиусом АК до пересечения с радиусом СО в точке М. Хорда AM равна стороне вписанного пятиугольника. Размер, равный стороне пятиугольника, откладывают в разные стороны от оси симметрии, делая засечки на окружности дугами радиуса R' = \АМ\. Деление окружности на 10 равных частей показано на рис. 1.15, б.