Матрицы рассеяния, сопротивлений и проводимостей

При волновом подходе все падающие на вход 2 N -полюсника волны образуют вектор воздействия на многополюсник, а все отражённые – вектор его реакции, которые могут быть записаны в следующем виде:

.

Здесь и в дальнейшем используется краткое обозначение для вектор-столбцов с элементами .

Взаимосвязь определенных таким образом векторов воздействия и реакции в 2 N -полюснике определяется матрицей рассеяния [ S ] (от англ. scatter— рассеивать). Характеризующая матрицу рассеяния система линейных уравнений имеет вид

. (2.2)

Наряду с развернутой записью (1.2) в дальнейшем будем пользоваться для сокращения записи более компактной формой:

. (1.2а)

Квадратная матрица [ S ] в соотношениях (2.2) и (2.2а), имеющая смысл математического оператора, указывающего правило преобразования вектора-воздействия в виде комплексных амплитуд падающих волн в вектор-отклик в виде комплексных амплитуд отражённых волн , называется матрицей рассеяния. Уравнения (2.2) и (2.2а) вполне аналогичны соотношению для двухполюсников, где коэффициент отражения играет роль матрицы рассеяния. Это и понятно, так как двухполюсник является, по существу, простейшим представителем многополюсников.

Чтобы определить элементы матрицы рассеяния, необходимо воздействовать на многополюсник падающими волнами поочередно со стороны каждого входа. Во всех входных линиях передачи, кроме возбуждаемой, падающие волны должны отсутствовать. Поэтому вне многополюсника эти линии должны замыкаться на неотражающие поглотители, т. е. согласованные нагрузки. Обратившись к системе уравнений (2.2), видим, что если напряжение одной из падающих волн отлично от нуля, то соответствующий столбец матрицы рассеяния может быть легко найден. Номер этого столбца матрицы, очевидно, соответствует номеру возбужденного входа, а элементы равны отношению нормированных напряжений расходящихся от многополюсника отраженных волн к нормированному напряжению единственной падающей волны:

. (2.3.)

Комплексные величины и в (2.3) должны быть жестко "привязаны" к плоскостям отсчета фаз, т. е. эти величины рассчитываются или измеряются в предварительно фиксированных входных сечениях в каждой подводящей линии многополюсника.

Согласно выражению (2.3), элементы матрицы рассеяния безразмерны и имеют четкий физический смысл. Внедиагональные элементы матрицы [ S ]представляют собой волновые коэффициенты передачи по нормированным напряжениям между каждыми двумя входами многополюсника при согласованных нагрузках на других входах. Исключение составляют диагональные элементы матрицы [ S ](случай ), которые являются коэффициентами отражения для каждого входа многополюсника при согласованных нагрузках на других входах. Полезно запомнить, что в обозначении элемента первый индекс т определяет номер строки матрицы и одновременно номер согласованного входа, на который происходит передача мощности, второй индекс п определяет номер столбца и одновременно указывает номер входа, с которого осуществляется возбуждение.

Пример. Матрица рассеяния коаксиального разветвления (рис. 2.2). Пусть в точке А соединены параллельно три коаксиальных кабеля с Т-волной и с различными волновыми сопротивлениями . Если диаметры кабелей малы по сравнению с длиной волны, можно пренебречь эффектом возникновения волн высших типов в окрестности точки разветвления А и считать, что в этой точке при любых возбуждениях линий имеет место равенство ненормированных напряжений в каждой линии: . Выберем положения плоскостей отсчета в каждой линии на бесконечно малом расстоянии от точки А (это допустимо вследствие предположения об отсутствии волн высших типов около точки А).

Положим, что падающая волна с ненормированным напряжением набегает на разветвление со стороны входа 1. Если на входах 2 и 3 установлены неотражающие поглотители, т. е. резисторы с сопротивлениями и , то эквивалентной нагрузкой первой линии разветвления в точке А будет параллельное соединение сопротивлений и , равное Коэффициент отражения от такой нагрузки, в соответствии с формулой (2.3) равный элементу матрицы рассеяния,

.

Полное ненормированное напряжение в точке А

.

Поскольку нормированное напряжение падающей волны в линии 1 , а нормированные напряжения расходящихся волн в линиях 2 и 3 соответственно и , для элементов и матрицы рассеяния в соответствии с (3.3) получаем следующие выражения:

= ;

= .

Анализ работы разветвления в испытательных режимах возбуждения падающей поочередно на входы 2 и 3 волной при согласованных нагрузках на остальных входах проводится аналогично. Соответствующие результаты могут быть получены путем простых замен индексов: при возбуждении входа 2 и при возбуждении входа 3.

При определении матриц сопротивлений и проводимостей используется классический подход к описанию входных режимов многополюсника через полные нормированные напряжения и токи. Это приводит к матричным описаниям многополюсников СВЧ, почти тождественным принятым в теории низкочастотных цепей. Главное отличие состоит в том, что вместо обычных напряжений и токов используются их нормированные величины (размерностью ).

Матрица сопротивлений [ Z ] связывает вектор-воздействие на 2 N -полюсник в виде набора комплексных амплитуд N нормированных токов и вектор-реакцию в виде набора комплексных амплитуд N нормированных напряжений:

Связь введенных таким образом векторов воздействия и реакции в 2N-полюснике определяется нормированной матрицей сопротивлений [ Z ]. Характеризующая матрицу сопротивлений система линейных алгебраических уравнений имеет вид

(2.4а)

или в подробной записи

. (2.4б)

Соотношение (2.4б) аналогично обычному закону Ома для двухполюсника в виде , где входное сопротивление играет роль матрицы [ Z ]. Из уравнений (2.4б), проделывая мысленно опыты холостого хода на всех входах, кроме возбуждаемого, легко установить смысл элементов матрицы [ Z ]. При возбуждении n -го входа идеальным источником тока с нормированной величиной i_n и при холостом ходе на остальных входах получим все элементы столбца матрицы[ Z ]:

(2.5)

Не следует забывать, что комплексные нормированные напряжения и возбуждающие нормированные токи в (2.5) должны быть определены в плоскостях отсчета фаз многополюсника.

Недиагональные элементы матрицы [ Z ] представляют собой так называемые взаимные сопротивления входов m и n многополюсника. Первый индекс m в обозначении указывает номер строки матрицы и одновременно номер входа, на котором определяется реакция в виде нормированного напряжения холостого хода. Второй индекс п означает номер столбца матрицы [Z] и одновременно номер входа, к которому прикладывается воздействие в виде нормированного тока.

Диагональным элементам матрицы [ Z ] соответствует случай m = n в (1.5). Диагональные элементы являются собственными сопротивлениями каждого входа многополюсника при размыкании всех других входов. Поскольку нормированные токи и напряжения имеют одинаковую размерность , все элементы матрицы сопротивлений получаются безразмерными.

Перейдем к определению нормированной матрицы проводимостей. Здесь воздействие на входах 2 N -полюсника выбирается в виде набора N комплексных амплитуд нормированных напряжений, а соответствующая реакция задается набором N комплексных амплитуд нормированных токов. Характеризующая матрицу проводимостей [ Y ] система линейных алгебраических уравнений имеет вид , или более подробно

Из этой системы уравнений, проделывая мысленно опыты короткого замыкания входов (кроме возбужденного), получаем определение элементов матрицы проводимостей:

.

Недиагональные элементы матрицы [ Y ] представляют комплексные взаимные проводимости в виде отношений выходных нормированных токов короткого замыкания к нормированному напряжению на возбуждаемом входе. Диагональные элементы матрицы [ Y ] являются собственными проводимостями каждого входа при условии короткого замыкания всех других входов. Как и в случае матрицы сопротивлений, нормированные токи и напряжения должны определяться в заранее зафиксированных плоскостях отсчета фаз. Так же как в матрице [Z], все элементы матрицы [Y] являются безразмерными.

Сравнивая определения матриц сопротивлений и проводимостей одного и того же 2N-полюсника, легко установить, что эти матрицы взаимно обратны:

[ Z ] = [ Y ]^{- 1}, [ Y ]=[ Z ] ^{- 1}.

Матрицы сопротивлений и проводимостей наиболее часто применяются в расчетах многоэлементных антенн для учета взаимного влияния отдельных излучателей друг на друга. Отметим, что для некоторых пассивных многополюсников либо матрица сопротивлений, либо матрица проводимостей, либо обе они могут оказаться неопределенными (содержащими бесконечно большие элементы).