Математические модели простейших экономических задач

Задача использования ресурсов

Для изготовления нескольких видов продукции P ₁, Р ₂ ,..., Р_п используют т видов ресурсов S ₁, S ₂,..., S_m. Это могут быть различные материалы, электроэнергия, полуфабрикаты и т.п. Объем каждого вида ресурсов ограничен и известен (b ₁, b ₂ ,..., b_m). Известно a_ij (i = 1,2,..., т; j = 1,2,..., п) — количество каждого i -го вида ресурса, расходуемого на производство единицы j- го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции (с ₁, с ₂,..., с_п). Условия задачи можно представить в виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вид ресурсов	Объём ресурсов	aij
P 1	Р 2	…	Рп
S 1	b 1	a 11	a 12	…	a 1 n
S 2	b 2	a 21	a 22	…	a 2 n
…	…	…	…	…	…
Sm	bm	am 1	am 2	…	a m n
Прибыль	с 1	с 2	…	сп

Пусть х_j (j = 1,2,..., п) — количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести. Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение a ₁₁ x ₁+ a ₁₂ x ₂+…+ a _{1 n} x_n ≤ b ₁.

Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов. Сле­дует учитывать также, что все значения х_j≥ 0, j= 1, 2,..., п.

Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции, может быть представлена как функция

F(X) = с ₁ х ₁+ с ₂ х ₂ +... + с_п х_п.

Необходимо эту функцию максимизировать.

Таким образом, математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде

F(X) = с ₁ х ₁+ с ₂ х ₂ +... + с_п х_п→ max,

В более компактной форме целевую функцию и систему ограничений можно записать, используя знак суммирования,

max,

i= 1, 2,..., m,

Задача о составлении рациона питания

Требуется составить ежедневный рацион питания животного на основе имеющихся видов кормов так, чтобы общая стоимость использованных кормов была минимальной. При этом животное не должно получать менее определённого количества питательных веществ, например, таких, как жиры,углеводы, белки, витамины и т.п.

Каждый вид корма содержит разную комбинацию этих веществ. Известна цена единицы веса каждого корма.

Пусть имеется п различных кормов (продуктов) Р ₁, Р ₂ ,..., Р_п иперечень из т необходимых питательных веществ S ₁, S ₂,..., S_m. Обозначим через а_ij содержание (в весовых единицах) i -го питательного вещества в единице j -го корма, а через b_i минимальную суточную потребность животного в i -м веществе. Через х_j обозначим количество каждого вида корма в ежедневном рационе. Очевидно, что х_j ≥0.

Условия задачи можно представить в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

Питательное вещество	aij	Суточная потребность
P 1	Р 2	…	Рп
S 1	a 11	a 12	…	a 1 n	b 1
S 2	a 21	a 22	…	a 2 n	b 2
…	…	…	…	…	…
Sm	am 1	am 2	…	a m n	bm
Стоимость 1 кг корма	с 1	с 2	…	сп	-

Для первого вида питательного вещества неравенство-ограничение примет вид a ₁₁ x ₁+ a ₁₂ x ₂+…+ a _{1 n} x_n ≥ b ₁.

Аналогичные неравенства будут и для остальных питательных веществ. Сле­дует учитывать также, что все значения х_j≥ 0, j= 1, 2,..., п.

Общие затраты на весь рацион питания животного можно найти на основе линейной функции

F(X) = с ₁ х ₁+ с ₂ х ₂ +... + с_п х_п.

Необходимо эту функцию минимизировать.

Итак, математическая модель задачи составления рациона питания запишется в виде

F(X) = с ₁ х ₁+ с ₂ х ₂ +... + с_п х_п→ min,

Рассмотрим варианты составления математической модели для следующих задач.

Задача 1. (Планирование производства.)

Некоторое предприятие выпускает три типа продукции П₁,П₂,П₃ двумя технологическими способами S ₁и S ₂. Количество продукции j- гoвида (j = 1,2,3), произведенного i -м способом (i = 1,2) за единицу времени, задано табл. 1.3.

Необходимо так организовывать производство, чтобы получить наибольшую прибыль при реализации продукции по указанной стоимости.

Таблица 1.3

Продукции Т.способ	П1	П2	П3	Лимит времени
S 1
S 2
Стоимость 1 ед. продукции

Математическая модель задачи

Обозначим через х_{i j} — время, затраченное на изготовление продукции П j (j = 1,2,3) i -м способом. Тогда план производства будет иметь вид:

S 1	х 11	х 12	х 13
S 2	х 21	х 22	х 23

При этом продукции 1-го вида будет выпущено 20 х ₁₁+ 30 х ₂₁ , 2-го вида 25 х ₁₂+20 х ₂₂ , 3-го вида 30 х ₁₃+ 15 х ₂₃. Стоимость всей продукции (обозначим ее за F)равна 5(20 х ₁₁+ 30 х ₂₁)+3(25 х ₁₂+20 х ₂₂)+6(30 х ₁₃+ 15 х ₂₃) и она должна быть максимальной. Но при этом есть ограничения по времени: х ₁₁+ х ₁₂ + х ₁₃ ≤10, х ₂₁+ х ₂₂ + х ₂₃ ≤8 и очевидно, все х_{i j} ≥ 0.

Окончательно получаем математическую модель задачи

F =5(20 х ₁₁+ 30 х ₂₁)+3(25 х ₁₂+20 х ₂₂)+6(30 х ₁₃+ 15 х ₂₃) → max,

Задача 2. (Задача о смеси.)

Известно, что при правильном питании человек должен получать в день не менее 20 единиц витамина А, не менее 15 единиц витамина В. Содержание этих витаминов в одной единице каждого из продуктов П₁, П₂, П₃ задано табл. 1.4. Составить наиболее дешевый рацион питания. Все данные занесены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Витамины Продукты	А	В	Стоимость одной единицы П i
П1
П2
П3
	≥20	≥15

Математическая модель задачи

Пусть х_i — количество продукта П _i, потребляемого в день (i =1,2,3), тогда стоимость всех продуктов (обозначим F)будет равна F= 25 х ₁ +30 x ₂ + +20 х ₃. При этом количество витамина А равно 4 x ₁ + 5 х ₂ + 2 х ₃ , витамина В — 5 x ₁ + 2 х ₂ + 6 х ₃, получаем математическую модель:

F =25 х ₁ +30 x ₂ +20 х ₃ → min,

Задача 3. (О раскрое материала.)

Для изготовления некоторого изделия требуется 2 планки по 2 м, 3 — по 2,5 м и одна трехметровая. Для этого используют 100 досок по 7 м длиной. Как распилить доски, чтобы получить возможно большее число комплектов?

Математическая модель задачи

Рассмотрим возможные варианты распиливания досок.

Таблица 1.5

№ варианта Длина планки
2 м
2,5 м
3 м

Обозначим через х_i — количество досок, распиленных i -м способом, тогда заготовок по 2 м получится 3 x ₁+ 2 х ₂ + 2 х ₃ + х ₄, по 2,5 м — x ₂ + 2 x ₄ + х ₅; по 3 м — х ₃ + x ₅ + 2 x ₆. Обозначим через к — число полученных изделий, тогда

3 x ₁+ 2 х ₂ + 2 х ₃ + х ₄ = или 2(3 x ₁+ 2 х ₂ + 2 х ₃ + х ₄ )= к,

x ₂ + 2 x ₄ + х ₅ = или 3(x ₂ + 2 x ₄ + х ₅ )= к,

х ₃ + x ₅ + 2 x ₆= к. Исключим к.

2(3 x ₁+ 2 х ₂ + 2 х ₃ + х ₄ )= 3(x ₂ + 2 x ₄ + х ₅ ) или 6 x ₁+ х ₂ + 4 х ₃ -4 х ₄ -3 х ₅ =0,

2(3 x ₁+ 2 х ₂ + 2 х ₃ + х ₄ )= х ₃ + x ₅ + 2 x ₆ или 6 x ₁+ 4 х ₂ + 3 х ₃ +2 х ₄ - х ₅-2 х ₆=0.

Окончательно получим математическую модель

к=х ₃ + x ₅ + 2 x ₆→ max,

все х_i ≥0.

Мы видим, что различные экономические задачи приводят к одному и тому же типу математических задач. Задачи такого типа решаются методами линейного программирования.