Алгоритм вычисления обратной матрицы

4 -8 -5

А = -4 7 -1

-3 5 1

1. 4 -8 -5 24 -43 0

|А| = -4 7 -1 = -4 7 -1 = 24*12- 7*43 = 288 – 301 = -13 -3 5 1 -3 5 1-3 5 1 -7 12 0

-7 12

2. 7 -1 -4 -1

А₁₁ = = 7 + 5 = 12, А₁₂ = - = 7, А₁₃ = 1,

5 1 -3 1

-8 -5 4 -5

А₂₁ = - = -17, А₂₂ = = -11, А₂₃= 4,

5 1 -3 1

А₃₁ = 43, А₃₂= 24 А₃₃= - 4

12 7 1

-17 -11 4;

43 24 -4

3. 12 7 1

à = -17 -11 4;

43 24 -4

4. Обратная матрица

- -

А^-1 = - -

- -

Ранг матрицы.

Понятие ранга матрицы - одно из важнейших для решения многих прикладных задач.

Пусть дана матрица размерности m х n. Вычёркивая произвольно строки и столбцы матрицы, можно в ней вычленять квадратные матрицы различных порядков.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄ - ЧЕТЫРЕ МАТРИЦЫ 3-ГО ПОРЯДКА

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄ - 18 МАТРИЦ 2-ГО ПОРЯДКА.

Например:

а₁₁ а₁₂ или а₂₂ а₂₃

а₂₁ а₂₂ а₃₂ а₃₃

Определители этих матриц назовём минорами соответствующих порядков. Например, минор 3-го порядка

а₁₁ а₁₂ а₁₃ Среди этих миноров могут быть нулевые

а₂₁ а₂₂ а₂₃ и ненулевые миноры.

а₃₁ а₃₂ а₃₃.

Определение. Наивысший из порядков минора, отличный от нуля, называется рангом матрицы и обозначается символом rang A=r.

Очевидно: а) rang A≤ min (m, n);

б) если А – невырожденная квадратная матрица, то rang A=n;

Пример. Найти ранг матрицы А

1 4 7 12

А = 3 -1 0 13 rang А≤ min (3;4)

4 16 28 48

Все миноры 3 порядка равны нулю (т.к. элементы 3-й строки в любом миноре пропорциональны элементам 1-й строки).

Рассмотрим минор 2-го порядка 1 4 = - 13 ≠ 0

3 -1

существует минор 2-го порядка не равный нулю. Значит, rang А=2.

Вычисление всех миноров в общем случае достаточно громоздкая операция. Для упрощения этой операции используются преобразования матрицы, сохраняющие её ранг. Такие преобразования называются эквивалентными или элементарными. Они основаны на свойствах определителей:

1. Если ряд матрицы состоит из нулей, его можно отбросить, ранг при этом сохраняется.

2. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

3. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки умножить (разделить) на одно и то же число.

4.Ранг не меняется от перестановки рядов матрицы.

5. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки, умноженные на одно и то же число, прибавить к соответствующим элементам другой строки.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Пример.

1 3 7 2 5 + (3) (-2)

-1 0 4 8 3

3 6 10 -4 7

2 -3 10 4 4

1 3 7 2 5 1 3 7 2 5

0 3 11 10 8 => 0 3 11 10 8 (3)

0 -3 -11 -10 -8 0 -9 -4 0 -6

0 -9 -4 0 -6

1 3 7 2 5 1 3 7

0 3 11 10 8 М = 0 3 11 = 1*3*29 = 87≠ 0

0 0 29 30 18, 0 0 29

rang A_4х5 = 3.