Общая схема построения графика функции с помощью геометрических преобразований

Рассмотрим функцию , которая «базируется» на некоторой функции . Для многих читателей алгоритм построения графика уже понятен:

– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с АРГУМЕНТОМ функции (см. первые два параграфа), в результате чего получаем график функции ;

– на втором шаге выполняем только что рассмотренные преобразования, связанные с самой ФУНКЦИЕЙ, и получаем график .

Завершим самое длинное построение данного урока:

Пример 19 (концовка Примера 10)

Построить график функции

В примере №10 мы выполнили построение графика , то есть полностью разобрались с аргументом функции. И сейчас осталось выполнить завершающие шаги.

График функции :

4) отобразим симметрично относительно оси : ;
5) сдвинемвдоль оси на 3 единицы вверх: :

На практике, к счастью, построения почти всегда более коротки, например:

– кубическую параболу сдвигаем вдоль оси на 5 единиц вправо и сжимаем вдоль оси в 3 раза.

– график экспоненты отображаем симметрично относительно оси ординат, затем – симметрично относительно оси абсцисс.

– график функции смещаем влево на 5 единиц, затем – вверх на 1 единицу.

И т.д. Некоторые геометрические преобразования можно поменять местами, но это возможно далеко не всегда! Поэтому «чайникам» лучше придерживаться алгоритма, изложенного в начале параграфа.

Весь материал статьи, который носит в бОльшей степени всё-таки справочный характер, потребуется для выполнения чертежей в других задачах, но время от времени на практике рассматриваемое задание встречается отдельно, причём, бывает, в «сыром» виде:

Пример 20

Построить график функции с помощью преобразований графиков элементарных функций

Методику быстрого построения параболы я разобрал на первом уроке о графиках функций, однако здесь по условию необходимо применить вполне определённый способ.

На первом шаге представим функцию в виде . Для этого используем так называемый метод выделения полного квадрата. Советую не пренебрегать задачей, поскольку типовой приём потребуется и в будущем, например, при нахождении интегралов от некоторых дробей.

Идея состоит в том, чтобы искусственно преобразовать функцию ТАК, чтобы воспользоваться одной из формул сокращенного умножения либо .

Начнём преобразования. Коэффициент при выносим за скобку:

Очевидно, что выражение сведётся к формуле . В скобках конструируем :

Таким образом, . Теперь организуем , для этого в скобках прибавим и вычтем :

Последнее слагаемое выносим из скобок:

Используем формулу и суммируем два последних слагаемых:

В целях проверки целесообразно раскрыть скобки и убедиться, что получится исходная функция:

Построим график . Параболу :

1) Сдвинем вдоль оси на влево: (синий цвет);
2) Вытянем вдоль оси в 2 раза: (малиновый цвет);
3) Сдвинем вдоль оси на вверх: (красный цвет):

Рассмотрим ещё один типовой трюк:

Пример 21

Построить график функции с помощью преобразований графиков элементарных функций.

Сначала сведём функцию к виду . Все действия я закомментирую:

(1) В знаменателе выносим –1 за скобки. Это необходимо, чтобы аргумент функции представить «в привычном» порядке .
(2) Минус знаменателя поставим перед дробью. В числителе проведём искусственное преобразование – прибавим и вычтем единицу. Это необходимо для почленного деления на следующем шаге.
(3) Почленно делим числитель на знаменатель. Возьмите на заметку рассмотренный приём, он используется при интегрировании дробей.
(4) Раскрываем скобки.

Проведём построение. График гиперболы (чёрный цвет):

1) Сдвинем вправо на 1 единицу: (синий цвет);
2) Отобразим симметрично относительно оси абсцисс: (малиновый цвет);
3) Сдвинем вдоль оси на единицу вниз: (красный цвет):

Перейдём к заключительной части урока, в которой речь пойдёт о модуле. Хотел её сделать отдельной небольшой страничкой или pdf-кой, да потом передумал, чего уж тут мелочиться. Хотя эта статья далеко не рекордная по количеству букв, солидную часть объема занимают чертежи.