Показатели вариации и способы их расчета

Понятие вариации и ее значение при статистическом изучении.

Вариация признака – это наличие различий в численных значениях какого-либо признака внутри совокупности. Причиной колеблемости признаков является множество действующих факторов. Показатели вариации изучаются для решения вполне определенных задач, одной из которых является оценка типичности средней величины. Средняя величина лишь тогда может считаться инструментом научного исследования, если она вычислена для однокачественных единиц. Иначе она непригодна для статистического анализа. Оценка типичности средней величины – это и оценка однородности совокупности, для которой она вычислена. Представление об отклонении индивидуальных значений от средней величины и дают показатели вариации.

При одном и том же значении средней величины в двух совокупностях вариация может быть различной. И в случае неодинаковых значений средней величины из разных совокупностей вариация может быть одинаковой.

Показатели вариации и способы их расчета.

Для измерения степени вариации единиц совокупности по изучаемому признаку используют абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным характеристикам вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) – представляет собой амплитуду колебаний и определяется как разность между максимальным (X_max) и минимальным значениями признака (X_min).

R=X_max-X_min

Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать пределы вариации признака, например пределы вариации ставок процента по кредитам и депозитам кредитных организаций одного и того же региона, или, например, каковы колебания цены на данный товар в течение недели или по разным регионам в данный отрезок времени. Он востребован также при анализе инвестиционных проектов в условиях риска: из двух проектов тот считается более рискованным, у которого размах вариации экспертной оценки ожидаемого эффекта выше.

Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных отклонений вариант признака от средней арифметической величины. Для расчета этого показателя применяют следующие формулы:

•для несгруппированных данных

где x_i – значение признака у i -й единицы совокупности; - средняя величина признака в совокупности; n – число единиц совокупности.

•для сгруппированных данных

где x_i – значение признака у i -й единицы совокупности; - средняя величина признака в совокупности; f – частота признака (вес).

Этот показатель выражен в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя.

Дисперсия – представляет собой средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Этот показатель единиц измерения не имеет.

Для расчета этого показателя применяют следующие формулы:

•для несгруппированных данных

где x_i – значение признака у i -й единицы совокупности; - средняя величина признака в совокупности; n – число единиц совокупности.

•для сгруппированных данных

где x_i – значение признака у i -й единицы совокупности; - средняя величина признака в совокупности; f – частота признака (вес).

Среднее квадратическое отклонение – представляет собой корень квадратный из дисперсии. Измеряется в тех же единицах измерения, что и варьирующий признак. Смысловое содержание этого показателя такое же, как и среднего линейного отклонения. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Чем меньше его величина, тем однороднее совокупность и тем, соответственно, типичнее средняя величина.

Относительные характеристики вариации рассчитываются как отношение абсолютных показателей степени вариации к среднему уровню изучаемого признака. К ним относятся: коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение и коэффициент вариации.

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение:

Коэффициент вариации:

Задача.

По следующим данным оценить степень вариации цен в каждом районе.

Цена единицы продукта, руб.	Середина интервала, xi	Реализовано, тыс.ед.
Район А (fi)	Район Б (fi)
400 – 420
420 – 440
440 – 460
460 – 480
480 – 500
Всего	—

Сначала определим среднюю цену за единицу товара в каждом районе:

1) Размах вариации:

2) Среднее линейное отклонение:

3) Дисперсия:

4) Среднее квадратическое отклонение:

5) Коэффициент осцилляции:

6) Относительное линейное отклонение:

7) Коэффициент вариации:

Таким образом, можно сделать вывод, что цена за единицу реализуемой продукции имеет более низкий уровень вариации в районе Б, так как среднее квадратическое отклонение цены единицы продукции в этом районе составляет 26,47 руб., а по району А – 26,8 руб. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. В каждом районе коэффициент вариации меньше критического значения, но в районе Б он меньше, чем в районе А.