Пример 12. Определение состава премикса

Для получения премиксов вида 1и 2 используются химические вещества A, B, C, и D, требования, к содержанию которых в премиксах приведены в табл. 20.

Таблица 20. Требования к содержанию химических веществ в премиксах

Вид премикса	Требования к содержанию химических веществ
	Не более 70 % вещества А Не более 40 % вещества В
	От 30 до 50 % вещества В Не менее 25 % вещества С Не более 65 % вещества D

Характеристики и запасы минералов, используемых для производства химических веществ А, В, С, и D указаны в табл. 21.

Таблица 21. Характеристики и запасы минералов

Минерал	Максимальный запас, т	Состав, %	Цена, у.е. / т
A	B	C	D

Цена 1 т премикса вида 1 равна 320 у.е., цена 1 т премикса вида 2 – 350 у.е Необходимо максимизировать прибыль от продажи премиксов видов 1 и 2.

Решение

1. Математическая модель задачи.

Пусть:

– количество химических веществ A, B, C и D, используемых для получения премикса вида 1;

– количество химических веществ A, B, C и D, используемых для получения премикса вида 2;

– количество используемого i -го минерала.

Найти максимум функции:

при следующих ограничениях:

– на состав вида премикса (см. табл. 20):

,

,

,

,

,

,

– на характеристики и состав минералов (см. табл. 21):

,

,

,

,

– на диапазоны переменных:

;

,

,

.

2. Ввод данных в окно Поиск решения осуществим в соответствии с рис. 28. Не следует забывать о заполнении необходимых опций в окне Параметры поиска решения.

3. Подготовка листа рабочей книги MS Excel – разместим данные для решения задачи на рабочем листе в соответствии с рис. 29.

4. Результаты поиска решения представлены на рис. 30.

Работа № 12

Транспортная задача

В общем виде транспортную задачу можно сформулировать следующим образом: в m пунктах отправления находится однородный груз, количество которого равно соответственно единиц. Данный груз необходимо доставить потребителям , спрос которых – . Стоимость перевозки единицы груза из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения равна . Необходимо составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе, и при этом суммарные транспортные издержки минимальны.

Математически транспортную задачу можно записать так:

, (1)

, (2)

, (2)

. (3)

Таким образом, даны система ограничений (2) при условии (3) и линейная функция (1). Требуется среди множества решений системы (2) найти такое неотрицательное решение, которое доставляет минимум линейной функции (1).

Модель транспортной задачи называют закрытой (сбалансированной), если суммарный объем груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т. е. выполняется равенство:

.

Если для транспортной задачи выполняется одно из условий:

, ,

то модель задачи называют открытой (несбалансированной).

Для разрешимости транспортную задачу с открытой моделью следует преобразовать в закрытую. Так, если выполняется условие , то необходимо ввести фиктивный пункт назначения , т.е. матрицу задачи вводится дополнительный столбец. Спрос фиктивного потребителя принимается равным . Стоимость перевозок продукции полагается одинаковой, чаще всего равной нулю (если не задана стоимость складирования продукции), т. е. .

Если выполняется условие , то необходимо ввести фиктивного поставщика , т. е. в матрицу задачи вводится дополнительная строка. Запас груза данного поставщика принимается равным . Стоимость перевозок продукции полагается одинаковой, чаще всего равной нулю (если не задана стоимость штрафов за недопоставку продукции), т. е. .

При преобразовании открытой задачи в закрытую целевая функция не меняется, т. к. все слагаемые, соответствующие дополнительным перевозкам, равны нулю.

Пример № 13

Производство продукции осуществляется на 4-х предприятиях, затем развозится в 5 пунктов потребления. Предприятия могут выпускать в день 235, 175, 185 и 175 единиц продукции. Пункты потребления готовы принимать ежедневно 125, 160, 60, 250 и 175 единиц продукции. Хранение на предприятии единицы продукции обходится в 2 у. е. в день, штраф за недопоставленную продукцию – 3,5 у. е. в день. Стоимость перевозки единицы продукции (в у. е.) с предприятий в пункты потребления приведена в табл. 22.

Необходимо минимизировать суммарные транспортные расходы по перевозке продукции.

Таблица 22. Транспортные расходы

Предприятия	Пункты потребления
	3,2		2,35		3,65
		2,85	2,5	3,9	3,55
	3,75	2,5	2,4	3,5	3,4
			2,1	4,1	3,4

Решение

1. Проверка сбалансированности модели задачи – модель является сбалансированной, т. к. суммарный объем производимой продукции в день равен суммарному объему потребности в ней:

.

Поэтому при решении этой задачи не учитываются издержки, связанные со складированием и недопоставкой продукции.

2. Построение математической модели – неизвестными в этой даче являются объемы перевозок. Пусть – объем перевозок с i -го предприятия в j -й пункт потребления. Суммарные транспортные расходы – это функционал качества (критерий цели):

,

где – стоимость перевозки единицы продукции с i -го предприятия в j -й пункт потребления.

Неизвестные в этой задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

– объемы перевозок не могут быть отрицательными;

– поскольку модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с предприятий, а потребности всех пунктов потребления должны быть полностью удовлетворены.

Итак, имеем следующую задачу:

– найти минимум функционала:

,

– при ограничениях:

где – объем производства на i -м предприятии, – спрос в j -м пункте потребления.

3. Решение задачи с помощью окна Поиск решения:

– подготовку рабочего листа для задачи осуществляем в соответствии с рис. 31.

– ввод данных в окно Поиск решения производим в соответствии с рис. 32.

– полученное оптимальное решение представлено на рис. 33.