Многоканальная смо с отказами

Иса 18.05.15

Для анализа работы такой системы мы вновь воспользуемся ее графом состояния. Общий вид этого графа определяется числом каналов, их состояния и числом заявок, которые поступают на обслуживание. При этом можем выделить следующие виды состояний. S0 все каналы свободны, s1 занят один канал, s2 занят второй канал и так далее, sk заняты k каналов и так далее sn заняты все n каналы. Имея ввиду данный перечень возможных состояний мы можем из представить в виде соответствующего графа, каждое состояние иллюстрируется прямоугольником, взаимодействия между состояниями определяется стрелками, рядом с которыми проставляется интенсивность соответствующих переходов из одного в другое состояние, в результате получим следущий вид:

Слева на право поступающий поток лямбда переводить анналы из свободного состояния в занятое состояние, число занятых каналов будет постепенно возрастать до я тех пор, пока не будет занят последний энный канал, интенсивность поступления заявок, каждый приход новой заявки обеспечивает занятие очередного канала обслуживания. Для некоторого какого канала sk это новая заявка переведет состояние в sk+1, мю - интенсивность потока обслуживания, дело обстоит иначе. На нашем графе состояний она характеризует движение справа налево, обозначил эту интенсивность через мю итое, если говорить об интенсивности потока обслуживания об интенсивности потока обслуживания всей многоканальный системы, то результирующая величина этого обслуживания мю итое, будет зависеть от числа задействованных каналов. Например, если речь идет об использовании только одного канала, то мы можем говорить об интенсивности потоков событий, который переводит систему из состояния эс 1 в эс нулевое после обслуживании очередной заявки. И малое равно единице и наша интенсивность обслуживания мю итое будет равно мю 1 и равно просто мю. То есть это пример одноканальный системы. Если теперь речь пойдет об использовании двух каналов обслуживания, система в состоянии эс 2, то после завершения обслуживания заявки интенсивность перехода из эс 2 в эс 1 будет вдвое выше по числу занятых каналов. Равна 2мю. Если в процессе функционирования системы будет задействована Ка малое каналов, то поток обслуживания по отношению к начатому значению мю возрастет в Ка малое раз, то есть будет равен Камю. Таким образов на исходной постановки вопроса мы получили размеренный граф состояний, который учитывает изменения интенсивности обслуживания по мере возрастания количества используемых каналов. По рассмотренный ранее методологии решения задачи такого класса нам необходимы для имеющегося графа состояний составь дифференциальное уравнение Колмогорова, которое позволит определить вероятности каждого состояния системы, получим полученная система уравнений получила название"уравнения Эрланга" в общем случае для решения подобной системы уравнений нам необходимы известные начальные условия. Пэ нулевое равно 1, остальные равны нулю. Приведенная система начальных условий практически означает, что в начальный момент рассмотрения функционирования системы все каналы обслуживания свободны, что соответствует исходному состоянию эс нулевое. Следовательно только вероятность этого состояния и будет равна единице. Все остальные вероятности тождественно обращаются в ноль. Если решим систему уравнений, то мы получим характер изменения всех вероятностей отдельных состояний системы во времени. В аналитическом виде подобное решение системы уравнения является достаточно сложным и на практике оно реализуется с использованием числовых методов решения дифференциальных систем уравнений с применением либо цифровых либо аналоговых выч машин. Для принятия решения об управлении работой подобной системы массового обслуживания ге обязательно решать систему уравнений, как правило, оказывается достаточным рассмотреть только установившийся режим, то есть значение вышеперечисленных вероятностей при времени т, стремящимся в бесконечность. В этом установившейся режиме все левые части уравнений Эрланга тождественно обращаются в ноль. И мы вместо системы дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений. Где в качестве неизвестных будут выступать вероятности предельные значения их каждого из возможных состояний системы. Методика решил такой системы алгебраических уравнений значительно проще, чем система дифференциальных уравнений, в частности мы можем использовать решение алгебраических уравнений с использованием определителей. Не рассматривая саму методику решения этих уравнений, остановимся только на предельных значениях вероятностей каждого из возможных состояний. При этом получим.в данных выражениях первое уравнение системы определяет вероятность занятости любого из немалое каналов. А пэ нулевое это вероятность наличия свободных каналов обслуживания. Названные вероятности определяются не интенсивностью самого потока заявок лямбда и не интенсивностью потока обслуживания потока мю(одного канала), а вместо названных интенсивностей пользуются их соотношением, которое можно обозначить через ро. Полученное соотношение три для предельных вероятностей получили название формул Эрланга. Для их реального использования нам достаточно знать всего три основных параметра многоканальный системы. По параметрам лямбда мю и эн вы рассчитываем ро и определим пэ итое. Предельные вероятности. Имея данное множество предельных значений вероятностей, можем определить другие характеристики которые определяют эффективность функционирования всей системы массового обслуживания. Как показано на примере одноканальный системы, к таким отнесем, ку - пропускная способность. а-абсолютная пропускная способность и Ротк-вероятность в отказе на обслуживание. Уравнение (4) определяет вероятность в отказе обслуживания. В полне очевидно что такой отказ возможен когда все каналы обслуживания окажутся заняты,поэтому именно вероятность занятости Р(n) и будет совпадать с вероятностью отказ в обслуживании. Выражение (5) определяет относительную пропускную способность системы. Эта относительная пропускная способность будет тем выше,чем ниже вероятность отказа. Поэтому в правой части выражения (5) и показана эта вероятность отказа Pn. Так как в большинстве случаев нас интересует абсолютное значение пропускной способности системы,то нам достаточно умножить относительную пропускную способность на лямбда,определяющая интенсивность поступления заявок. В результате правая часть выражения(6) будет определять ту часть общего числа поступающих заявок которая в состояние пропустить наша многоканальный система. Полученные обозленные оценки по выражениям 4,5,6 позволяют наметить повышения эффективности всей системы массового обслуживания. Кроме этого иногда используется дополнительная характеристика этой системы в виде общего числа занятых каналов в среднем. Оно связано со средним числом заявок находящихся в нашей системе на обслуживании. Это среднее значение можно определить по соотношениям. Для количественно оценки среднего числа заявок находящихся на обслуживании можно воспользоваться как выражением (7) так и (8). Ну из выражения (8) легко усматривается что можно принимать решения об увеличении этого числа либо за счёт увеличения абсолютной пропускной способности А либо за счёт коррекции интенсивности потока обслуживания мью. Если например использовать технические средства с более низкой производительностью,то мью уменьшается в то время как К-число занятых каналов,будет возрастать. Таким образом мы получаем формализованную основу для выдачи рекомендаций на изменение структуры всей системы массового обслуживания. Лямбда считаем как интенсивность поток заявок. Обычно заинтересовано к увеличению интенсивности потока заявок, например за усовершенствования рекламных мероприятий. Тогда можно свети к числу каналов обслуживания при известных свойствах. Вот для иллюстрации данной методологии принятия решений рассмотрим ее рименение для анализа работы трехканальной системы нашего обслуживания. В качестве исходных параметров. Требуется бжля подобной трехканальной системы определить основные характеристики.

Иса 26.05.15
Одноканальный смо с наличием очереди на ожидание.
Для рассмотрения работы подобной системы и методологии ее анализа ограничимся небольшим числом каналов обслуживания в частности примем за основу одноканальную систему. n=1 на вход такой системы поступает поток заявок с полне определенной интенсивностью лямбда. Если заявка поступает в момент когда канал занят то она становится в очередь на обслуживание. Сама очередь ожидания ограничена. Число мест на обслуживании m. Если заявка отходит в момент когда в очереди стоят уже м заявок, то она покидает систему без обслуживания. Приведенная общая постановка вопроса позволяет наметить следующие возможные состояния системы. Для подобной постановки и условия задачи мы можем представить возможный граф состояний для этой системы, предполагает цепочку. Смотри тетрадь сука. В соответсвии с общей методологией задач массового обслуживания по приведенному состоянию графу состояний системы можно составить систему дифф уравнений Колмогорова. Как отмечалось, для предельного значения вероятности, когда уже не меняют своего значения, система уравнений Колмогорова можно будет преобразовать в систему обычных алгебраических уравнений, полагая производные равные нулю.(пэ итое равное константа) на основе решения системы алгебраических уравнений для предельных значений вероятностей каждого из вероятностей системы, мы получим следующие предельные значения вероятностей. В системе уравнивает 1 в правой части фигурирует отношение двух интенсивностей. Именно оно определяет предельную вероятность. Анализ правой части показывает, что в квадратных скобках геометческа прогрессия. Для нее сумма всех ее членов определяется соотношением три. Так как предельное значение пэ нулевое определяет значение всех остальных вероятностей, то остановимся на анализе выражения три. В частности это выражение имеет смысл только для случая когда показатель ро не равен единице. При ро равном единице можно раскрыть неопределенность и в результате вероятность пэ нулевое. Если теперь принять во внимание что заявка получает отказ в обслуживании в том случае, когда канал будет занят и все м малое мест в очереди тоже заняты, то вероятность отказа можно рассказывать как вероятность м плюс 1 состояния. Именно это состояние характеризует момент когда все м мест будут заняты. Принимая это во внимание получаем пэ отказа. Выражение 5 - относительная пропускная способность. Мы можем определить абсолютную пропускную способность. Таким образом нами получены основные показатели работы нашей одноканальный смо. С очередью. Помимо этих основных показателей очень часто представляет интерес среднее число заявок, которые находятся в очереди на обслуживание. Для количественной оценки этого показателя это среднее число заявок как некоторое математическое ожидание дискретной случайной величины например эр. Которая будет определять это число заявок. Для расчета среднего значения приведем анализ. Он показывает что с вероятностью пэ 2 в очереди будет одна заявка, в пэ три, в очереди две заявки. В более общем случае с вероятностью пэ индекс Ка малое. В очереди будет стоять Ка минус одна заявка. Эти вероятности и позволят произвести подсчет заявок, которые в очереди. Оно будет равно. Выражение шесть. Если в правой части выражения 6 вынести за скобки который равен ро квадрат на пэ нулевое то приведенное выражение для среднего значения примет следующий вид. Выражение 7 стоящее в правой части внутри квадратных скобок в общем случае оно оказывается связанным с геометрической прогрессии и для суммы ее членов расположены внутри квадратных скобок мы можем воспользоваться известным соотношением. Подставляя это соотношение в выражение 7 ну и проведя алгебраические преобразования для расчета среднего числа заявок в очереди получаем более простой вид этого выражения. Стоят в очереди представляет интерес и среднее число заявок которое связно со всей системой в целом,те он должно учитывать которые стоят на обслуживание так и заявки которые находятся уже на обслуживании. Если обозначить через к малое то через определение количественной оценки показателя будем рассматривать это число заявок как сумму двух случайных величин. Одна из них это заявки которые стоять очереди на обслуживание а вторая которые будут находится на обслуживании. Величина р в правой части определяется выражением 9 и нам остается определить средне число заявок находящихся в каналах обслуживания. Для определения правой части будем рассматривать случайную величину омега большое как случайное событие. Как известно случайное событие относится к данным логического типа те принимает только два значения 0 1 при этом 0 соответствует свободному каналу те не занятому а 1 наоборот что канал обслуживания занят. При этом вероятность свободного канала Ро нами уже была определена и количественна равна следующей величине. Среди полных характеристик массового обслуживания и присутствует такой ее показатель как среднее время ожидания заявки в очереди на обслуживание. Определение или расчет этого показателя определяется по следующим исходным данным. Предположим что заявка приходит в момент времени когда канал обслуживания свободен. Вероятность этого состояния равна По очевидно что время ожидания равно 0.если теперь заявка приходит при занятом канале на обслуживания то система перешла в состояние с1 и вероятность этого состояния равна П1. В этом состоянии канал занят но очереди нет следовательно эта заявка будет ожидать время которое равно времени обслуживания оно обратно пропорционально интенсивности потока обслуживания. Рассуждая подобным образом мы можем определить время ожидания для заявок которые поступают при занятом канале и одной заявке в очереди. С некоторой вероятностью Пк пришедшая заявка будет соответствовать состоянию системы в которой к заявок ждет обслуживания В очереди и их время ожидания будет равно к/мью. Подобная ситуация сохраняется до тех пор пока это число к будет меньше или равно числу мест в очереди. Как только к становится равно м+1 то эта заявка в очередь не становится Ией дается отказ следовательно равно 0. На основе описанного выше анализа среднее время ожидания заявки в очереди мы можем расчитывать по следующему соотношению. После всех преобразований подставляя значение всех вероятностей й мы получим(см.тетрадь)(выр.12). Таким образом рассмотренная ранее система обслуживания одноканальный смо позволяет найти все интересующие показатели нормального функционирования такой системы. Для наглядной иллюстрации такой методологии рассмотрим м ее применим для анализа работы автомобильной заправке с одним каналом обслуживания и с площадкой ожидания кол-во мест равно 3 если приходит 4 машина то она вынуждена проезжать мимо из-за отсутствия мест в очереди. Общая интенсивность как одна машина в минуту. Время 1.25/мин. Требуется определить вероятность отказа в обслуживании, относительная и пропускная способность азс третий показатель среднее число машин находящихся в очереди на обслуживании 4)среднее число машин которые прибывают на азс те с учетом автомашины находящейся под заправкой5) среднее время ожидания заправки очередной автомашины6) среднее время прибывания машины на азс с учетом времени ее заправки. Решение такой задачи ведется к выполнению след действий 1)находим интенсивность потока обслуживания мью2) находим наш показатель ро =льмбда/мью =1/0.8=1.25 с учетом изложенного состояния машины это число состояний на единицу превышает число мест во череда ТК речь идет всего лишь об одном канале обслуживания поэтому говоря о предельных вероятностях каждого из 5 состояний подставляя соответствующие значения ро и м малое в приведенное выше выражение мы получим след оценку для наших вероятностей По=(1-1.25)/(1-3.05)=0.122 П1=.122 *1.25=0.152 П2= 1.57*0.122=0.191 П3=0.238 П4=0.297. Потк=0.297 ку=1-Потк=0.703 А=ку*лямбда=0.703 Р=1.56. Если вычислить среднее число машин находящихся под обслуживанием омега средняя. Получив оценку основных показателей которые оценивают качество функционирования нашего обслуживания мы можем перейти к решению задачи управления работы этой системы. С этой целью мы определяем показатель эффективности этой системы и которой нет устраивает администрацию. Например потока заявок Что в сохранить или увеличить интенсивность потока обслуживания мы можем либо увеличить либо количество мест обслуживания (число колонок)либо провести модернизацию оборудования (скорректировать значение мью)те время обслуживания. Принятие конкретного решения может быть реализовано после сравнительной оценки вариантов азс

Иса 01.06.15

Вероятностные методы в оценке надежности технических устройств. Современная система управления не мыслится без применения различных технических устройств. Их можно классифицировать по принципу действия, по месту положения в основном контуре управления системы, когда можно выделать группу датчиков, усилителей, регуляторов, исполнительных устройств, ре образовательный и тд. Возможно и другие варианты классификации таких устройств, для обеспечения нормального функционирования систем, безотказная работа, значительную роль играет решение вопроса надежности таких устройств. Для повышения такой надежности необходимо владеть соответствующим обоснованием проводимых работ. Их эффективность во многом определяется техническими характеристиками и показателями надежности реальных устройств. Нарушение нормального функционирования тех устройств связано с появлением отказа в их работе. В теории надежности различают два типа отказа, внезапный и постепенный. Внезапный отказ всегда связан с некоторым случайным моментом времени, когда либо происходит обрыв провода, потеря контакта в разъема, перегорание элементов входящих в схему устройства и тд. Постепенный отказ сопровождается ухудшением характеристик в работе устройства под действием естественного элемента старения базы. Если принять за основу, что изменение характеристик в конечном итоге приводит к потере свойств технического устройства, то их можно в этом отношении классифицировать как внезапные отказы. Поэтому применительно к техническим устройствам любое изменение характеристик, которое нарушает нормальное функционирование устройства, будем считать отказом. Вполне очевидно, что при разработке тех устройств и их реальном применении показатели надежности играют существенную роль, под надежностью элемента будем понимать вероятность того, что данный элемент или тех устройство будет работать и функционировать безотказно в течении определенного отрезка времени т. Р(т) функция распределения. Эту функцию применительно к данному направлению анализа будем называть законом надежности. Действительно если рассматривать начальное состояние элемента пи т равным нулю, интересующая нас функция надежности при т равным нулю, будет принимать значение равным единице, что говорит о вероятности нормального функционирования устройства с начала наблюдения за его работой. Количественная оценка этой функции связана с введением такого термина, как надежность элемента. Количественная оценка этой надежности можно давать через некую вероятность q(t) = 1 - p(t) которая характеризует безотказную работу устройства в течении времени т. Если рассматривать время безотказной работы T, то весь процесс работы F(t) = P(t<T) будет определятся этой вероятностью. Это функция распределения которая будет определять вероятность того, что за время т произойдет отказ в работе устройства. Рассматривая процесс работы устройства, можно говорить что надежность элемента дополняет нашу функцию F(t) до единицы. Основная отличительная особенность этой функции P(t) = 1 - F(t).

Графическая иллюстрация для функции надежность q(t) наглядно показывает что она может рассматриваться как один из вариантов общеизвестного закона распределения вероятности. По аналогии с обычным пониманием надежности можно ввести и понятие плотности распределения времени безотказной работы. Этот показатель надежности тех устройства можно приближённо оживать по результатам экспериментальных исследований. С этой целью возможна следущая постановка эксперимента. Исходные технические устройства или элементы общем количеством N. Они однородны, и находятся в одними и тех де условиях эксплуатации. Необходимо зарегистрировать врем для каждого из данных элементов в течении которого соответствующих элемент будет работать исправно. То Есть регистрируется время до отказа в работе. Для каждого элемента получим свое значение времени безотказной работы. t = (t1 t2 t3... tn) полученный массив значений времени безотказной работы можно обработать обычными методами математической статистики. Например построить гистограмму для этого процесса. С этой целью весь диапазон полученных значений от нуля то т энное на интервалы в диапазоне. Для построения гистограммы значения функции плотности распределения для каждого интервала определяем по выражению пять. В общем случае это не линейная зависимость. Но если рассматривать возможность аппроксимация этой нелинейной зависимости, то мы можем найти аналитическое описание закона распределения надежности. Оказалось что наиболее часто такое аналитическое описание приводится в виде некоторого показательного законаданный закон известен как экспоненциальный закон надежности. Для него функция распределения времени безотказной работы и функция плотности распределения будет равна. Как видно из выражений 7 и 8 основная характеристика закона надежности определяемая параметром лямбда может интерпретироваться в виде потока отказов который воздействует на группу тех устройств. Подобный подход оказывается особенно реальным, если отказавший элемент немедленно заменяется новым, восстанавливается. В общем случае эта интенсивность отказов может быть использована не только для экспоненциально го закона надежности но и для других вариантов его аналитического описания. Говоря обманном показателе можно в качестве управляющего момента ставить задачу снижение этого показателя, рассмотрим возможные варианты в повешении надежности работы устройств.

Определение надежности системы по надежности ее отдельных элементов.

Первый вариант является наиболее ростом для расчета надежности.этот вариант системы предусматривает ситуацию когда отказ в работе отдельного устройства равносилен отказу всей системы в целом.подобные свойства системы можно классифицировать простым последовательным соединением отдельных технических устройств или элементов. При этом подобное последовательное соединение следует рассматривать только с позиции анализа надежности работы всей системы в целом. Такой условный подход мы использовали при рассмотрении графа состояния системы. Если обратиться к эквивалентной схеме то она принимает сравнительно простой вид. Обычно для подобной структуры системы ставится задача обеспечения без отказной работы системы от 0 до тау. Если принять это тау за некоторое время без отказной работы то по функции распределения надежности каждого из элементов в отдельности мы получим значение вероятности того что за этот промежуток времени тау вероятность безотказной работы будет характеризоваться значением п1 п2... Пн. При оценке надежности всего соединения в целом мы будем вести речь что каждый из элементов этого соединения может отказать не зависимо друг от друга с той вероятностью которая заранее известна или может быть определена для каждого из устройств в отдельности. Эта вероятность системы очевидно будет определяться вероятность безотказной работы каждого из элемента этой системы.

Если рассмотреть вариант когда вс элементы будут обладать одинаковой надежностью, то выражение 1 будет принимать более простой вид. (П в степени н) предположим что наша система состоит из 10 независимых элементов надежность каждого из них равна 0.95 и необходимо определить надежность всей системы в целом

исходя из рассмотрено го свойства и решается задачи управление показателя надежности исходной системы. С этой целью необходимо проанализировать структуры усходной системы выделив в ней характерные схемы взаимодействия между отдельными элементами которые модно классифицировать как последовательное соединение по показателю надежности та к и параллельное соединение. Если мы классифицируем структуру как последовательное соединение то мы можем решить задачу как обеспечит. Надежность всей системы в целом пи известном числе последовательно соединенных элементов,решение задачи будет основано на выр 1 выр 2 для общей надежности такой системы.

Случай 2.

Определение надежности системы при параллельном соединении отдельных элементов или технических устройств. Одним из путей возвышения надежности всей системы в целом является введение в нее дублирующих резервных элементов именно такие элементы и представляют собой параллельное соединение с точки зрения надежности системы. Рассмотрим ср простейший пример когда речь идет о двух параллельно соединенных элементах.

Оба элемента которые находятся а этом параллельном соединение имеют один и тот же вход И выход. Физически это означает что принципиально они по своему функциональном превращению решают одну и туже задачу преобра зевания входного сигнала. В исходном состоянии эту задачу преобразования входного сигнала решает любой из элементов параллельного соединения. Если говорить об отказе работы системы то она произойдет только в том случае если одновременно выйдут из строя оба элемента. Поэтому для такого слежения мы можем говорить о вероятности противоположного события,которым является отказ всей системы в целом.чтобы произошло это событие э=э1*э2, следовательно по показателю не надежной работы системы мы можем говорить

выражение 4 5 полностью збс) выр 5 показывает показатель надежности работы элементов. Именно для такого параллельного соединения величина эквивалентной вероятности П предположим что речь идет о трех дублирующих друг друга предохранителя которые соединены параллельно с точки зрения надежности надежности каждого из них 0.9. Полученный результат в виде показателя показывает что параллельное соединение в конечном итоге существо повышает показатель надежности всей системы.таким образом при решении задач синтеза которая обладала заданным показатель надежности мы и будем использовать свойства последовательного и параллельного соединения элементов системы!!!!!!!