Информационный материал. Сложное высказывание будем назвать тождественно истинным или тавтологией, если оно принимает значение истины для всех наборов значений входящих в него простых

Сложное высказывание будем назвать тождественно истинным или тавтологией, если оно принимает значение истины для всех наборов значений входящих в него простых высказываний.

Два сложных высказывания будем называть равносильными, если их значения совпадают при одних и тех же наборах значений входящих в них простых высказываний.

Доказательство приведенных ниже основных равносильностей алгебры высказываний выполняется при помощи составления таблиц истинности.

1. Закон тождества: ;

2. Закон непротиворечия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Закон двойного отрицания: ;

5. Законы ассоциативности: ;

6. Законы коммутативности: ;

7. Законы дистрибутивности:

8. Законы поглощения:

9. Законы де Моргана:

10. Связь конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания: ;

11. :

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. Модусы (разновидности схемы утверждений): -утверждающий модус;

17. - отрицающий модус;

18. Отрицающе-утверждающий модус: ;

19. Законы транзитивности:

20. Законы контрапозиции:

21.

22.

23.

24.

25.

26. Законы косвенного доказательства:

27. Законы Клавия:

В качестве примера докажем, что, например, формулы и являются тождественно истинными (тавтологиями), построив для их левых и правых частей таблицы истинности и используя табличные определения основных логических операций

1.

В четвертом и седьмом столбцах полученной таблицы содержаться истинностные значения, соответствующие левой и правой частям рассматриваемой формулы, и принимаемые этими выражениями значения одинаковы для всех наборов простых переменных, входящих в состав сложного высказывания. Значит, данная формула является тавтологией.

2.

В третьем и пятом столбцах полученной таблицы содержатся истинностные значения, соответствующие левой и правой частям рассматриваемой формулы, и принимаемые этими выражениями значения одинаковы для всех наборов простых переменных, входящих в состав сложного высказывания. Значит, данная формула также является тавтологией.

Пример: