Непрерывные случайные величины

Случайной непрерывной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Например, размер детали массового производства.

Характеристиками непрерывной случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. М(Х)= ; D(Х)= ; s(Х)= .

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяется по формуле р(а < Х < b)=

Наиболее распространенными видами распределения непрерывной случайной величины являются равномерное, показательное и нормальное.

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, при котором все ее значения находятся в интервале [а,b], а плотность распределения постоянна и равна ¦(х)= .

Числовые характеристики М(Х)= , D(X)= .

Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид: ¦(х)=0, при х<0; ¦(х)=lе^-lх при х³0, а числовые характеристики М(Х)= s=1/l, D(X)= 1/l².

Нормальным распределением случайной непрерывной величины называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид: ¦(х)= , где а- математическое ожидание случайной величины, s - среднее квадратичное отклонение.

Вероятность того, что случайная нормально распределенная величина Х примет значение, находящееся в интервале (α; β) вычисляется по формуле

р(α < Х < β)=Ф( - Ф(,

где Ф(Х) – функция Лапласа.

2.1. Время ожидания поезда распределено равномерно в интервале [0,5] (мин.). Найти плотность вероятности времени ожидания, функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность того, что ожидающий будет ждать поезд не более трёх минут.

Решение.

¦(x)= 0 при х<0; ¦(x)= 1/5 при 0£ х £5; ¦(x)= 0 при х>5.

F(x)= 0 при х<0; F(x)= x/5 при 0£ х £5; F(x)= 1 при х>5.

M(x)= = 5²/10=25/10=2,5; р(x < 3)=р(0£ х £3)= =3/5.

2.2. Вероятность того, что во время лекции преподаватель объяснит дополнительный материал, равна 0,01. Определить среднее время лекций без дополнительного материала и вероятность того, что в течение пяти «пар» преподаватель ни разу не изложит его.

Решение. М(х)= 1/l=100 мин., при этом по времени 5 учебных «пар» равны 400мин.

Тогда, р(400)=1-е^-0.01*400=0.0183.

2.3. Количество слов и выражений в лексикологической программе компьютера подчинено закону нормального распределения со средним значением равным 500 и средним отклонением – 36. Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина имеет в памяти от 400 до 550 слов и выражений.

Решение. a=500, s=36,

Р(400£ х £550)=Ф( - Ф( = Ф( - Ф( = 0,9150.

2.4. Ведутся испытания новейшей ракеты. Ошибка наведения – случайная величина, нормально распределённая с параметрами а=24 и s=4м. Найти вероятность того, что наведение произведено:

а) с ошибкой, не превышающей 8м;

б) с ошибкой меньше 5м.

Решение.

а) р(| х <8)=Р(-8 < х < 8)= Ф() - Ф()= - Ф(4) + Ф(8) = = - 0,499968+0,5=0,000032.

б) Р(х <5)=Р(0<х<5)= -Ф(4,8)+Ф(6)=0,0000008.

2.5. Функция плотности удара во время тренировки спортсмена по боксу имеет вид: ¦(x)= 0 при х<0; ¦(x)= 12x при 0£ х £1/4; ¦(x)= 0 при х>1/4.

Найти F(x), построить графики функций, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что х будет в пределах от 0 до 2, а также вероятность того, что х будет не меньше двух.

Решение. F(x)= 0 при х£0; F(x)= 6x² при 0£ х £1/4; F(x)= 1 при х>1/4.

2.6. Вследствие некачественной установки операционной системы в работе компьютера случаются «зависания» этой системы. Допустим, что 3 часа - это время работы компьютера до первого «зависания», а среднее число неисправностей за сутки равно 8. Работа до «зависания» распределена по показательному закону: р(t)= l , t>0. При этом на перегрузку системы достаточно 0,5 часа, после чего компьютер работает до «зависания». Найти вероятность того, что промежуток времени, между двумя «зависания», больше пяти часов.

Решение. t-промежуток времени, равный трём. Случайная величина распределена по показательному закону и плотность вероятности для нее имеет вид: f(x)= e^-8(t-0,5) при t ³0.5; f(x)=0 при t <0.5.

Тогда функция распределения имеет вид: F(x)= 1 – e^-8(t-0,5) при t ³0.5; F(x)=0 при t <0.5.

Искомую вероятность того, что промежуток То между двумя «зависания» будет больше пяти часов при условии, что перегрузка длится 0,5 часа вычисляется по формуле:

Р(5<T< )=1-F(To), откуда Р(То>5)=1-1+e^-8(5-0.5)=0.23^-15 т.о. вероятность очень мала.

2.7. f(x)= acosx при -p/2£х£p/2 и f(x)=0 при -p/2>х>p/2.

Найти параметр а, все характеристики случайной величины Х, р(0 £х £p/2).

Решение. Для нахождения параметра а воспользуемся следующим свойством плотности распределения f(x)

= =2 а = 1; а = 1/2.

Таким образом, f(x)= cosx при -p/2£х£p/2 и f(x)=0 при -p/2>х>p/2.

М(х) = 1/2 =0;

D(x)= p²/2 – 2 – 0 = p² /2 – 2.

P(0<X<p/4)= 1/2 = .

2.8. Затаривание мешков с сахаром произведено без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением s=200г. Найти вероятность того, что затаривание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 100г.

Решение. В задаче рассматривается случайная величина Х – ошибка взвешивания, а – математическое ожидание, нормативное значение веса мешка сахара.

Требуется найти:

р(а-100< х < а+100)= Ф() – Ф()=2Ф()=2Ф(0,5)= =0,383.

2.9. Время ожидания автобуса Х измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0;30]. Определить среднее время ожидания автобуса, дисперсию и вероятность того, что ждать придется не более 10 минут.

Решение. МХ оценивается по формуле МХ= ; МХ= =15(мин)

DX оценивается по формуле DX= ; DX=900/12=75;

р(Х<10)= =10/30=1/3.

2.10. Интенсивность отказов прибора l=10^-3 . Оценить среднюю наработку на отказ Т и вероятность безотказной работы в течение 500 часов.

Решение. Х – время поступления первого отказа.

Тогда, р(Х<t)= 1 – e^-0,001t ; t ³0; f(t)= e^-0,001t ; Т=МХ=1/l=1000 ч. – средняя наработка на отказ.

Вероятность безотказной работы в течение 500 часов:

р(х > 500)= е^-0,5 =0,6055.

2.11. Плотность распределения случайной величины x задана формулами ¦(x)=0 при х<1 и ¦(x)=С/х⁴ при х³1. Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения величины h=1/x; в) р(0,1<h<0,3).

2.12. Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром λ: р (ξ £ х)= 1- е^-lх (х³0). Найти плотность распределения случайной величины: а) h ₁ = ; б) h ₂ =x²; в) h ₃ =1/l lnx.

2.13. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий {|z|£0,7} или {|z|³0,7} имеет большую вероятность?

2.14. Известно, что x~N(0,1). Что больше р₁=(-0,5£ x £ -0,1) или р₂=(1£x £ 2).

2.15. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а стандартное отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900гр.?

2.16. Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80ч и стандартным отклонением 30ч. Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции.

2.17. Случайная величина Х– время полёта пассажирского самолёта из пункта А в пункт В. Величина Х имеет распределение от 10 мин до 40 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что полёт займёт более 20мин и менее 18мин.

2.18. Найти функцию распределения числа абитуриентов, прошедших по конкурсу, если поступает 6 человек и вероятность пройти равна 0,2 для каждого. Также вычислить вероятность того, что поступят не менее одного и не более пяти человек

2.19. Высота дерева, выросшего в парке, подчинено нормальному закону с параметрами а=16футтов, d=100футтов. Найти вероятность того, что высота дерева: а) не менее 15,8ф; б) не более 16,25ф; в) от 15,75ф до 16,3ф.

2.20. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна 400 м. Предполагается, что дальность полета распределена нормально со среднеквадратическим отклонением 80 м. Найти вероятность того, что снаряд даст перелет от 120 м до 160 м.

2.21. Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины равна 0 при х<0; х⁶ при 0£ х £1; 1 при х>1. Найти математическое ожидание МХ, дисперсию DX, р(0< х <0,1).

2.22. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(1,2). Найти: а) р(х<1); б) р(-1<х<1); в) р(-2<х-1<2); г) р(-4<х-1<4).

Ответы. 1.14. а) М(Х)=0;

х	-2	-1
р	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

б) М(Х)=6/5;

х
р	1/5	2/5	2/5

1.15. а) С=1; б) 3/4. Указание. Воспользоваться формулами: 1/ [k(k+1)]=1/k – 1/(k+1) и åр(x=k)=1; 1.16. М(х)=2. Указание. Воспользоваться формулами 2/[k(k+1)(k+2)]=1/[k(k+1)] – 1/[(k+1)(k+2)] и åр(x=k)=1; 1.17.

Число пуговиц
Вероятность	0,3	0,21	0,147	0,343

1.18. а) 212; б) 565; в) нет; 1.19. 0,1; 0,8; 0,1; МХ=0,5; DX=2,05; МY=4; DY=11,2; 1.20. MZ=24; DZ=128; 1.21. а) 400; б) 0; 2.11. а) С=3; б) ¦(h)=3х² (0<х<1); в) 0,026; 2.12. а) lе^-lх/2 , х>0; б) 2lх (х>0); в) l² ( <х< ); 2.13. р(|x|³0,7)= 0,4839< р(|x| £0,7)=0,5160; 2.14. р₁=0,1616>р₂=0,1359; 2.15. 6,68%; 2.16. 12,1%.; 2.17. МХ=25;DX=75; р(х>20)=2/3; р(х<18)=3/5; 2.18. р(1<х<5)=0,736256; 2.19. а) 0,97772; б) 0,9936; в) 0,9924; 2.20. 0,00112; 2.21. МХ=6/7; DX=3/196; 0,000001; 2.22. а) 0,5; б) 0,3413; в) 0,6826; г) 0,9544.

Таблица 1

Значения функции p(m)= e^-a

a \ m
0,1	0,90484
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9

Таблица 2

Значения функции p(m£k)=e^-a

a \ k
0,1	0,90484			1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,2					1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,3						1,0000	1,0000	1,0000
0,4						1,0000	1,0000	1,0000
0,5							1,0000	1,0000
0,6							1,0000	1,0000
0,7								1,0000
0,8								1,0000
0,9								1,0000
		04-43

Таблица 3

Значения функции j(х)=

x
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5

Таблица 4

Значения функции Ф(х)=