Решите самостоятельно следующие задачи. 1. Производитель стальных канатов долгое время обеспечивал прочность каната на разрыв μ=55000 кг при стандартном отклонении σ=500 кг

1. Производитель стальных канатов долгое время обеспечивал прочность каната на разрыв μ=55000 кг при стандартном отклонении σ=500 кг. После усовершенствования процесса изготовления, производитель стал утверждать, что прочность каната на разрыв возросла. При испытании выборки из n=50 канатов получено, что средняя выборочная прочность составляет 55250 кг. Заказчик решил проверить гипотезу Н₀: μ=55000 при уровне значимости 0,05 (так как он сомневается в увеличении μ). Пройдет ли эта гипотеза?

2. Для двух нормальных независимых величин ξ и ή: ξ: и ή: получены выборки объема =42 и =20, для которых сосчитано: При уровне значимости α=0,05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних (альтернативная гипотеза ). Чему равно опытное значение статистики Т, применяемой для проверки гипотезы Н₀.

3. Провели обследование однотипных изделий, произведенных двумя заводами (по 40 изделий на каждом заводе). Оценки вычислялись в некоторых единицах, затем по ним для каждого завода были сосчитаны статистические показатели – среднее значение оценки и среднее квадратическое отклонение. Результаты приведены в таблице:

	Завод №1	Завод №2
средний балл
стандартное отклонение

Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что изделия завода №2 лучшего качества, чем изделия завода №1.

4. На некотором поле выбрали 100 участков земли: 50 участков засеяли одним сортом ячменя, 50 – другим. На первых 50 участках получили урожай в среднем 60 ц/га со стандартным отклонением 3 ц/га, на вторых 50 участках средний урожай оказался равным 65 ц/га со стандартным отклонением 3,5 ц/га. Будет ли средний урожай этого сорта ячменя значимо превосходить средний урожай ячменя первого сорта? Принять α=0,05.

5. Средняя месячная выработка для выборки из 50 рабочих одного завода составляет 110 изделий при среднем квадратическом отклонении 14 изделий, а для выборки из 40 рабочих другого завода равна 105 изделий при среднем квадратическом отклонении 15 изделий. Выше ли средняя выработка на первом заводе, чем на втором? Уровень значимости α принять равным 0,01.

6. Результаты исследования двух сортов резины на покрышках (в баллах) приведены в таблице:

Номер покрышки
Износ для сорта А
Износ для сорта В

Сделать проверку гипотезы о том, что резина сорта А больше изнашивается, чем резина сорта В.

7. Сравниваются две марки бензина А и В. На 11 машинах одинаковой мощности при разовом пробеге по кольцевому шоссе испытан бензин марок А и В. При испытании бензина марки В одна машина в пути вышла из строя и для нее данные по бензину отсутствуют. Расход бензина в перерасчете на 100 км пути задан таблицей:

i
xi	10,51	11,86	10,5	9,1	9,21	10,74	10,75	10,8	11,3	11,8	10,9
yi	13,23	13,0	11,5	10,4	11,8	11,6	10,64	12,3	11,1	11,6	-

Можно ли с уровнем доверия 0,95 принять, что истинные средние расходы этих видов бензина одинаковы?

8. На двух токарных станках обрабатываются втулки. Отобраны две пробы: из втулок, сделанных на первом станке n₁=15 штук и на втором станке n₂=18 штук. По данным этих выборок рассчитаны выборочные дисперсии: (для первого станка) и (для второго станка). Полагая, что размеры втулок подчиняются нормальному закону распределения, на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать, что станки обладают различной точностью (точность станка – это средний разброс, т.е. требуется проверить гипотезу о равенстве дисперсий).

9. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:

Расход сырья, xi				∑
Число изделий, mi

А по новой технологии:

Расход сырья, xi					∑
Число изделий, mi

При уровне значимости 0,1 выполнить проверку о совпадении генеральных дисперсий.

10. Сравниваются два способа обработки деталей. Первым способом обработано 12 деталей, вторым – 10. Выборочные дисперсии соответственно равны 39 и 26 единиц. На уровне значимости 0,1 выяснить, можно ли считать, что способы обработки деталей обладают существенно различными дисперсиями (дисперсия – это точность обработки).

11. При 4000 бросаний монеты Бюффон получил m=2048 выпадений герба. Согласуется ли это с гипотезой о том, что существует постоянная вероятность р=0,5 выпадения герба?

12. Отдел технического контроля проверил n=200 партий одинаковых изделий и получил следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество x_i нестандартных изделий в одной партии; во второй строке - частота m_i, то есть количество партий, содержащих x_i нестандартных изделий):

xi
mi

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий Х распределено по закону Пуассона.

13. В течение месяца выборочно осуществлялась проверка торговых точек города по продаже овощей. Результаты двух проверок по недовесам покупателям одного вида овощей приведены в таблице:

интервалы недовесов, г	частота для выборки 1	частота для выборки 2
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
∑

Можно ли считать, что на уровне значимости 0,05 недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

14. В таблице приведено распределение служащих двух отраслей по зарплате. Необходимо проверить гипотезу об однородности распределений для уровня значимости 0,05.

i	интервалы зарплаты	частоты по отрасли А	частоты по отрасли В
j=1	j=2
	130-150
	150-170
	170-200
	200-250
	250-300
	300-350
	350-400
	400-450
∑

15. При 120 подбрасываниях игральной кости единица выпала 30 раз, двойка 29 раз, тройка 25 раз, четверка 24 раза, пятерка 5 раз, шестерка 7 раз. Согласуется ли это с тем, что игральная кость правильной формы.

16. В таблице представлены статистические данные о рождении четверень в год на протяжении 69 лет:

число четверень
частота

Проверить при уровне значимости 0,05 степень согласия с этими данными гипотезы о том, что количество рождений четверень в год подчиняется пуассоновскому закону распределения. (Указание. В качестве λ закона Пуассона взять эмпирическую оценку для него – выборочное среднее).

17. Установить, пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами и теоретическими частотами , которые вычислены из предположения, что генеральная совокупность распределена нормально:

а)

б)

18. Получено следующее распределение входного сопротивления 130 электронных ламп (Ом):

Входное сопротивление	3,0 -3,6	3,6 -4,2	4,2 -4,8	4,8 -5,4	5,4 -6,0	6,0 -6,6	6,6 -7,2
Число ламп

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – входное сопротивление электронных ламп – распределена по нормальному закону.

19. Имеются две выборки значений объемов 125 и 80 показателей качества однотипной продукции, изготовленной двумя фирмами:

xi
mi

yi
mi

Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что рассматриваемый показатель качества продукции двух фирм описывается одной и той же функцией распределения (т.е. выборки извлечены из одной генеральной совокупности). Решить задачу, используя критерии: а) Колмогорова-Смирнова; б) χ²-критерий Пирсона.

20. Имеются следующие данные о числе сданных экзаменов в сессию студентами-заочниками:

число сданных экзаменов, xi
Число студентов, mi

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – число сданных студентами экзаменов – распределена по биноминальному закону, используя критерий: а) χ²-критерий Пирсона; б) Колмогорова.