Основные положения. Дисциплина: Концепции современного естествознания

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. БИФУРКАЦИИ

Дисциплина: Концепции современного естествознания

Выполнил (ла)	студент(ка) гр. З-3Б32
	Прушинская М.В.

Томск 2014

Цель работы: самостоятельное установление характерных особенностей динамики систем, описываемых нелинейными зависимостями.

Основные положения

Во многих сложных физических, химических и биологических процессах наблюдаются качественно подобные явления резкого изменения характера протекания (динамики) процесса, при превышении одним из параметров системы некоторой критической величины. Примером может служить переход от слоевого (ламинарного) течения к вихревому (турбулентному) при возрастании скорости обтекания препятствия потоком жидкости.

При математическом моделировании таких сложных систем с пороговыми изменениями свойств (с бифуркациями) руководящая идея состоит в том, чтобы найти достаточно простую систему, временная эволюция которой качественно подобна поведению сложной многочастичной системы. Затем подробно изучают свойства такой простой системы и определяют те общие черты поведения, которые мало зависят от конкретных деталей модели. После чего, с учетом приобретенных знаний, общие выводы применяют для анализа гораздо более сложных систем или объектов.

В настоящей работе изучается простая модель появления бифуркаций в нелинейной системе, зависящей от одной переменной и одного параметра. Основное физическое допущение модели состоит в том, что процесс во времени считается дискретным (поэтапным, пошаговым). Тогда состояние системы на каком-либо (j+1) этапе будет определено состоянием предшествующего (j) этапа.

В качестве самой наглядной модели подобной системы удобно выбрать биологический объект – изолированную от других популяцию короткоживущих насекомых. Пусть летом они выводятся, а осенью откладывают яйца. Следующее поколение появится только через большой срок, так что популяции не перекрываются.

Поскольку процесс эволюции популяции во времени является дискретным, для него можно записать разностное уравнение вместо уравнения с производными по времени (оно необходимо для непрерывных процессов):

N + = rN −sN (1)

Здесь обозначено:

N J и N J + 1 – численности популяций на последующих этапах;

r – скорость воспроизводства потомства отдельным насекомым;

s – скорость убыли популяции.

Первый член выражает собой естественный прирост популяции, второй – отражает потери предшествующего поколения, вызванные взаимным истреблением, распространением болезней и нехваткой пищевых ресурсов.

Теперь задача состоит в исследовании возможных областей значений для численности популяции, при больших временах наблюдения за системой, т. е. при больших значениях j.

На первый взгляд уравнение (1) очень простое и не предвещает резких перемен. Однако это не так. На самом деле динамика систем, описываемых нелинейным уравнением типа (1), имеет сложную и упорядоченную структуру решений.

Для простоты и наглядности анализа положим s = r и разобьем всю область изменения параметра r на отдельные интервалы. Для области значений параметра r (скорости воспроизводства), где 0 < r < 1 динамическая переменная Nj монотонно стремится к нулевому значению. Физически это означает вымирание популяции.

При критических значениях rкр = 3; 3,4; 3,56; 3,569 и других, в ходе зависимости наблюдаются бифуркации (развилки). После первой из них система может иметь два устойчивых предельных значения. При этом на последующих шагах численность популяции попеременно то возрастает, то убывает. Когда насекомых выводится слишком много, они истощают имеющиеся пищевые ресурсы, так что их потомкам грозит голод. Наоборот, для малой численности насекомых создаются благоприятные условия, и они бурно размножаются.

При r > 3,4 возможны четыре значения для стационарной численности, при r >3,56 разрешены восемь значений и т. д. При этом последующие значения rкр становятся все ближе друг к другу и состояния N* могут перекрываться. В конечном счете, при r = 4, станут возможными любые значения из интервала (0,1).

Таким образом, для любых систем, которые могут быть описаны выражениями типа (2), результат большого числа дискретных этапов является стационарным и однозначным только для интервала значений параметра r между 1 и 3 и совершенно хаотичным – для значения r = 4.

Вблизи критических значений rкр = 3; 3,4; 3,56; 3,569 и т. д. появляются неустойчивости, и состояние системы циклически переходит с одной из допустимых ветвей значений на другую (или на другие). В этом режиме, при последующих шагах, система может переходить в состояния, которые заметно отличаются друг от друга. При этом одинаковые значения состояний могут повторяться через четное число шагов.

Примечание

При точном выполнении условия r = 4, частным решением уравнения (1) является выражение: X j=2 j X1, где новая переменная введена заменой Y j=(1 – cos(2πX j)) /2.

Поскольку значение Yj определяется периодической функцией cos(2πXj), то прибавление или вычитание из аргумента целого числа (оно будет умножено на 2π) не изменяет значение Yj.

Физически это означает, что в данном случае предельное состояние зависит от десятых, сотых, тысячных и других разрядов в численном значении начального состояния системы. Даже очень малое отличие ε в значениях Y1, которым обычно пренебрегают, после сравнительно небольшого числа шагов j может достигать величины 2 j ε. Например, для ε = 0,01 различие станет более 10, после прохождения 10 этапов развития системы.

В подобном случае поведение системы становится хаотическим. Очевидно, что точный долговременный прогноз для таких случаев оказывается невозможным. В этом случае говорят о режиме детерминированного хаоса в системе.

Более подробно исследовать спектр возможных состояний нелинейных систем, описываемых выражением (1), можно с помощью компьютерного моделирования.