Создание векторов и матриц

В системе предусмотрены различные возможности задания векторов и матриц:

· Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента.

· С помощью индексированных переменных.

· С помощью использования команды Insert^Matrix, либо с помощью соответствующей кнопки панели Matrix.

· Задание с помощью элементов программирования.

· Применение встроенных функций.

· Через связь с другим приложением, например Excel.

· Создание таблицы данных.

· Чтение из внешнего файла.

Рассмотрим некоторые из них. Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента очевидно и не требует пояснений. При создании матрицы или вектора с помощью индексированной переменной следует исходить из того, что любая индексированная переменная, индексами которой являются переменные, принимающие целочисленные значения из некоторого промежутка, уже представляют собой вектор или матрицу.

Пример 3. Требуется сформировать вектор x, состоящий из 6 элементов. Элементам этого вектора присвоить значения индексов.

Решение. Предоставим два варианта решения этой задачи:

1) с помощью индексированной переменной;

2) с помощью команды Inserts-Matrix.

Вариант а

Для того чтобы сформировать вектор, воспользуемся вспомогательной переменной, которая будет играть роль индекса (например, i), а затем будем использовать эту переменную для здания элементных значений векторах. Формирование вектора представлено на рис. 8.

Вариант b

Формирование вектора х будем производить с помощью команды Matrix. Для этого сначала напишем оператор присваивания: «х =», а затем выполним команду Matrix. Эта команда открывает диалоговое окно «Insert Matrix», которое представлено на рис. 9, в котором необходимо указать число строк и число столбцов. В нашем примере число строк равно 6, а число столбцов равно 1.

Рис. 8. Формирование вектора
с использованием индексированной переменной

После нажатия кнопки «Ok» команда предоставит шаблон с шестью ячейками, в которые следует вписать значения элементов вектора.

Рис. 9. Вызов диалогового окна «Insert Matrix»
для создания матрицы с помощью команды «Matrix»

Пример 4. В файле с именем «int(4_4).txt» записаны числа в виде матрицы четыре строчки по четыре элемента, разделенными пробелами. В файле с именем «int(4_1).txt» записаны числа в столбик. Требуется прочитать эти данные в матрицу Q и вектор P.

Решение. Для чтения данных из файла в матрицу/вектор можно воспользоваться функцией READPRN, которая имеет один параметр – имя файла. Фрагмент с решением представлен на рис. 10.

Рис. 10. Чтение данных из файлов

С матрицами могут производиться как численные, так и символьные вычисления. Операции с матрицами в системе MathCAD обозначаются так, как это принято в математике: –, +, *,....

На рис. 11 показано назначение некоторых специализированных команд, расположенных на панели инструментов Matrix.

Помимо этого, система MathCAD представляет большое количество функций для работы с векторами и матрицами. Воспользоваться этими функциями можно с помощью мастера функций f (x).

Рис. 11. Назначение некоторых команд,
расположенных на панели инструментов «Matrix»

На рис. 12 представлены вычисления с использованием операций над матрицами.

Рис. 12. Примеры матричных вычислений в MathCAD

Пример 5. Требуется сформировать диагональную квадратную матрицу с (6×6). Значения элементов главной диагонали должны совпадать с номером строки/столбца.

Решение. Для получения диагональной матрицы в системе предусмотрена функция diag, которая имеет один параметр – вектор диагональных элементов. Поэтому формирование матрицы начнем с создания вспомогательного вектора, в который занесем элементы для диагонали. Для формирования этого вспомогательного вектора (например, с именем s), воспользуемся вспомогательной переменной, которая будет играть роль индекса (например, i). Тогда формирование диагональной матрицы может быть получено в результате операций, как это показано на рис. 13.

Рис. 13. Формирование диагональной матрицы

Пример 6. Даны две матрицы: A (4×3) и В (4×2). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу C (4×5), причем, первыми столбцами новой матрицы должны быть столбцы матрицы А, а справа от этих элементов следовать столбцы матрицы В (методом «дописывания справа»).

Решение. Для соединения двух матриц в одну матрицу можно использовать функцию augment, параметрами которой будут являться имена соединяемых матриц, как это показано на рис. 14.

Рис. 14. Объединения двух матриц
по правилу «дописывания справа»

Пример 7. Даны две матрицы: A (2×3) и В (3×3). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу С (5×3), причем, в новой матрицы в качестве первых строк должны быть строки матрицы А, а за ними должны следовать строки матрицы В.

Решение. Для соединения двух матриц в одну матрицу по правилу «друг под другом» можно использовать функцию stack, параметрами которой будут являться имена соединяемых матриц, как это показано на рис. 15.

Рис. 15. Объединения двух матриц
по правилу «друг под другом»

Пример 8. Дана матрица A (6×6). Требуется получить из этой матрицу подматрицу, в которую включить элементы, расположенные в строках, начиная с номера 2-го по номер 4-й, и столбцах, начиная с номера 0-го по номер 5-й.

Решение. Для выделения подматрицы с номерами столбцов и строк представленными граничными значениями предусмотрена функция submatrix. Эта функция имеет 5 параметров: имя матрицы, из которой производится выбор; начальный номер строки выбора; конечный номер строки выбора; начальный номер столбца выбора; конечный номер столбца выбора. Возможное решение представлено на рис. 16.

Рис. 16. Выделение подматрицы из заданной матрицы

Пример 9. Дана матрица A (6×6). Требуется получить из этой матрицу два вектора. Первый вектор должен совпадать с 4-ым столбцом матрицы А, а второй – с 3-й строкой матрицы А.

Решение. Для получения векторных значений можно воспользоваться командой М^{< >} (из матрицы взять вектор-столбец), которая расположена на панели «Matrix». Для получения первого вектора эту команду нужно применить непосредственно к матрице А, а для получения второго вектора нужно сначала получить из матрицы А транспонированную матрицу, а только потом воспользоваться командой «взять столбец». Возможное решение представлено на рис. 17.

Рис. 17. Выделение векторных значений
из заданной матрицы

Пример 10. Из матрицы А (6×6) выделить минор, который образуется в результате вычеркивания из этой матрицы нулевой строчки
и третьего столбца.

Решение. Решение задачи можно свести к соединению двух подматриц, выделенных из матрицы А, как это показано на рис. 18.

Рис. 18. Выделение минора из заданной матрицы

2.1.2. Использование матриц специального вида
для выполнения матричных операций в системе MathCAD

Известно, что в результате умножении матрицы на вектор получается вектор. Причем, каждый i- й элемент этого вектора-результата представляет собой сумму попарных произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы на элементы вектора-сомножителя. Очевидно, если в векторе, на который умножается матрица, все элементы равны нулю, а один элемент равен единице, то результатом такого произведения будет число, соответствующее тому элементу i- й строки матрицы, где векторным сомножителем будет единица. Такой вывод можно использовать для выделения (формирования) из матрицы нужного столбца.

Пример 11. Дана матрица: A (4×4). Требуется получить из этой матрицу два вектора. Первый вектор должен совпадать с 0-ым столбцом матрицы А, а второй – с 3-м столбцом матрицы А.

Решение. Для получения новых векторов сформируем два вспомогательных вектора: вектор B 1 – с единичным значением в строке с номером 0, а второй вектор В 4 – с единичным значением в строке с номером 3. Тогда для получения векторов в соответствии с условием задачи достаточно умножить матрицу А справа на векторы В 1 и В 2, как это показано на рис. 19.

Рис. 19. Выделение векторных значений из заданной матрицы

Аналогичным образом можно получить вектор-строку из матрицы. Для этого достаточно сформировать вспомогательный вектор-строку, у которой все компоненты равны нулю, а одна компонента, номер которой соответствует номеру выделяемой строки из матрицы, равна единице. Если этот вектор умножить слева на матрицу, то в результате будет получена нужная строка.

Пример 12. Дана матрица: A (4×4). Требуется выделить из матрицы первую строку по порядку (с номером 0).

Решение. Сначала требуется подготовить вспомогательный вектор-строку, а потом умножить эту строку слева на матрицу А. Вектор-строку можно получить из предыдущего примера транспонированием вектора-столбца В 1.

Такой прием можно использовать для перестановки строк и столбцов матрицы, только для этого потребуется уже вспомогательная матрица, состоящая из векторов-столбцов (векторов-строк), место единичных элементы которых соответствуют тому порядку, который нужно иметь в результате преобразования матрицы.

Пример 13. Дана матрица: A (4×4). Требуется переставить в матрице строки с номерами 0 и 1.

Решение. Для преобразования исходной матрицы требуется подготовить вспомогательную матрицу. Во вспомогательной матрице местоположение единиц в строках должно соответствовать нужному порядку для расположения строк в новой матрице. После этого решение можно получить простым перемножением матриц:

Пример 14. Дана матрица: A (4×4). Требуется переставить в матрице столбцы с номерами 0 и 1.

Решение. Для преобразования исходной матрицы требуется подготовить вспомогательную матрицу. Во вспомогательной матрице местоположение единиц в столбцах соответствуют нужному порядку для выбора их в новую матрицу. После этого решение можно получить простым перемножением матриц:

Рассуждая таким образом, можно с помощью вспомогательного вектора с единичными компонентами получить вектор, компоненты которого будут равны сумме строк (столбцов) матрицы, а также суммы отдельно выделенного столбика (строчки).

Пример 15. Дана матрица: A (4×4). Требуется найти сумму элементов в столбце с номером 3.

Решение. Для решения задачи требуется подготовить вспомогательный вектор-строку из единичных элементов и выполнить умножение:

Пример 16. Дана матрица: A (4×4). Требуется получить вектора, элементы которого будут представлять суммы элементов в столбцах матрицы.

Решение. Для решения требуется подготовить вспомогательный вектор-строку из единичных элементов и выполнить умножение:

2.1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
с использованием матричных преобразований

Для простоты решения ограничимся случаем системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Рассуждения на случай большего числа уравнений можно провести аналогичным образом. Пусть требуется найти решение система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

(1)

Введем следующие обозначения:

(2)

где A – матрица коэффициентов;

В – вектор свободных членов;

х – вектор неизвестных.

В матричном обозначении систему уравнений (1) можно записать в виде:

A∙x = B. (3)

Из линейной алгебры известно, что система (3) имеет единственное решение при условии невырожденности матрицы, т.е. её детерминант должен быть отличным от нуля. Поэтому, какой бы вычислительный метод не применялся,решение системы линейных уравнений всегда нужно начинать с вычисления определителя (детерминанта) матрицы.

Если применить к уравнению (3) аппарат матричных преобразований можно получить «матричную» формулу для вычисления х:

1. Помножим уравнение (3) слева на матрицу, обратную к матрице А:

A^{– 1} Ax = A^{– 1} B. (4)

2. Воспользуемся свойством, что A^-1∙A=E, где Е – единичная матрица. Тогда уравнение (4) примет вид:

Ex=A ^–1 B. (5)

3. Воспользуемся свойством, что Е∙х = х. Тогда уравнение (5) примет вид:

X = A ^–1 B (6)

где (6) – решение системы (3).

Пример 17. Требуется найти решение следующей системы линейных уравнений:

Решение. Решение СЛАУ матричным способом в системе MathCAD приведено на рис. 20.

Рис. 20. Решение СЛАУ в пакете MathCAD

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные типы матричных вычислений в MathCAD.

2. Порядок действий для вызова диалогового окна «Insert Matrix».

3. Какие панели инструментов применяются для работы с матрицами в MathCAD?

4. Чему равен начальный индекс массивов в MathCAD?

5. Какая кнопка и на какой панели используется для задания индексов в MathCAD?

6. Какая функция используется для чтения матриц из внешнего файла?

7. С какими приложениями имеет связь пакет MathCAD?

8. Перечислите специализированные команды для работы с векторами и матрицами в MathCAD.

9. Перечислите функции для преобразования матриц в MathCAD.

10. Как получить вектор-строку из матрицы в MathCAD?

Варианты заданий к лабораторной работе № 2

Задания:

1. Рассчитать выражение в соответствие с вариантом. Одну из матриц ввести с помощью файла.txt.

2. Преобразовать матрицы в соответствии с вариантом задания. Значения матриц произвольные.

Вариант 1

1. .

2. Из матрицы А (5×5) выделить минор, который образуется в результате вычеркивания из этой матрицы 4-й строчки и 0-го столбца.

Вариант 2

1. .

2.Дана матрица: A (6×4). Требуется выделить из матрицы вторую строку по порядку (с номером 1).

Вариант 3

1. .

2.Дана матрица: A (4×4), и В (5×5). Требуется получить из этих матриц два вектора. Первый вектор должен совпадать с 4-м столбцом матрицы А, а второй – с 0-м столбцом матрицы B.

Вариант 4

1. .

2. Из матрицы А(4×4) выделить минор, который образуется в результате вычеркивания из этой матрицы второй строчки и второго столбца.

Вариант 5

1. .

2.Требуется сформировать диагональную квадратную матрицу С (5×5). Значения элементов главной диагонали должны совпадать с номером строки/столбца.

Вариант 6

1. .

2. Дана матрица: A (3×3). Требуется получить из этой матрицу два вектора. Первый вектор должен совпадать с 0-ым столбцом матрицы А, а второй – с 3-м столбцом матрицы А.

Вариант 7

1. .

2.Даны две матрицы: A (2×2) и В (4×2). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу С (6×2), причем, в новой матрицы в качестве первых строк должны быть строки матрицы B, а за ними должны следовать строки матрицы A.

Вариант 8

1. .

2. Даны две матрицы: A (4×3) и В( 4×2). Требуется объединить эти матрицы в одну матрицу C (4×5), причем, первыми столбцами новой матрицы должны быть столбцы матрицы А, а справа от этих элементов следовать столбцы матрицы В (методом «дописывания справа»).

Вариант 9

1. .

2. Требуется сформировать диагональную квадратную матрицу с (6×6). Значения элементов главной диагонали должны совпадать с номером строки/столбца.

Вариант 10

1. .

2.Даны матрица: A (4×4) и В( 4×2). Требуется выделить из матрицы A первую строку по порядку (с номером 0) и объединить полученную строку с матрицей B (методом «дописывания справа»).

3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
«Программирование в MathCAD»

Цель работы. Приобрести навыки программирования в математическом пакете MathCAD.