Частотные характеристики периодического сигнала

Математическое описание и обработка гармонических сигналов осуществляются просто. В связи с этим периодический сигнал часто представляют в виде ряда Фурье, т. е. разлагают на гармо­нические составляющие. При этом гармонические составляющие могут быть описаны тремя равноценными способами. Для типовых периодических сигналов, таких как прямоугольные, пилообразные колебания и др., составлены та­блицы соответствующих рядов Фурье.

7.5.1. Ряд Фурье как сумма синусоидальных и косинусоидальных колебаний. Ряд Фурье периодического сигнала по определению равен:

,

где - круговая частота основной гармонической составляющей:

;

Смысл уравнения ряда Фурье при описании сигнала состоит в том, что вся информация о сигнале заключена в амплитудах или как функция дискретных частот . Для периодических функций характерна дискретность амплитудных спектров и , т. е. они суще­ствуют только при дискретных величинах частоты . Коэффициент ряда Фурье соответствует так называемой постоянной составляющей сигнала. Коэффициент отсутствует в тех случаях, когда сигналы имеют вид последовательности прямоугольных импульсов.

7.5.2. Ряд Фурье как сумма косинусоидальных колебаний с различным сдвигом фаз. На основании тригонометрической теоремы сложения ряд Фурье можно записать в следующей форме:

где

При этом описание сигнала даётся в виде дискретного амплитудного спектра и дискретного фазового спектра .

7.5.3. Ряд Фурье в комплексной форме. Наиболее просто ряд Фурье описывается с помощью комплексного коэффициента :

;

где

Используя уравнение Эйлера, можно показать, что

При этом векторная величина эквивалентна величинам и или и :