Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Для определения количества единиц груза, подлежащих перераспределению, отмечаем знаком «+», незанятую клетку, которую надо загрузить. Это означает, что клетка присоединяется к занятым клеткам. Занятых клеток стало m + n, поэтому появляется цикл, все вершины которого за исключением клетки, отмеченной знаком «+», находятся в занятых клетках, причем этот цикл единственный. Отыскиваем цикл и, начиная движение от клетки, отмеченной знаком «+», поочередно проставляем знаки «–» и «+». Затем находим = min Xij, где Xij – перевозки, стоящие в вершинах цикла, отмеченных знаком «–». Величина определяет, сколько единиц груза можно перераспределить по найденному циклу. Значение записываем в незанятую клетку, отмеченную знаком «+». Двигаясь по циклу, вычитаем из объемов перевозок, расположенных в клетках, которые отмечены знаком «–», и прибавляем к объемам перевозок, находящихся в клетках, отмеченных знаком «+». Если соответствует несколько минимальных перевозок, то при вычитании оставляем в соответствующих клетках нулевые перевозки в таком количестве, чтобы во вновь полученном опорном плане занятых клеток было m + n – 1.
Проверка нового плана на оптимальность
Для проверки на оптимальность опорного плана нужно вновь построить систему потенциалов и проверить выполнение условия оптимальности для каждой незанятой клетки. Если полученный план снова окажется неоптимальным, то следует выполнить вычисления, приведенные в предыдущем пункте. Процесс повторяют до тех пор, пока все незанятые клетки не будут удовлетворять условию (6.13).
Пример 6.1. Решить ТЗ:
5 4 6 3 200
1 10 2 1 300
2 3 3 1 100
150 150 250 50 600
Условие баланса выполнено. Следовательно, имеем ТЗ закрытого типа.
Предварительный этап: находим исходный опорный план X° методом «минимального элемента».
Таблица 6.1
Число занятых клеток равно 6 и совпадает с рангом матрицы ограничений ТЗ:
r = m + n – 1 = 2 + 4 – 1 = 6.
Итерация 1. Для проверки полученного опорного плана на оптимальность находим систему потенциалов для занятых клеток (xij>0).
Для этого, например, полагаем U1 = 0 (записываем U1 = 0 слева в табл. 6.2).
Таблица 6.2
Vj Ui | V1 = 5 | V2 = 4 | V3 = 6 | V4 = 2 | |||||
U1 = 0 | 100+ | 100– | |||||||
U2 = –4 | 150– | 150+ | –2 | ||||||
U3 = –1 | 4 | 50– | |||||||
Далее, исходя из занятых клеток (1,2) и (1,3), находим V2 = 4 – 0 = 4, V3 = 6 – 0 = 6 (записываем сверху в таблице). На основе базисной клетки (2,3) получаем U2 = 2 – 6 = –4, затем V1 = 1 – (–4) = 5; U3 = 3 – 4 = –1; V4 = 2.
Далее вычисляем сумму потенциалов для каждой из свободных клеток и записываем их в верхнем левом углу. Так как для клеток (3,1) и (3,3) критерий оптимальности не выполняется:
U3 + V1 = 4 > 2,
U3 + V3 = 5 > 3,
то полученный опорный план не оптимальный. Так как
D31 = U3 + V1 – Cij = 2 = D33,
то в любую из клеток, например, в (3,1), проставляем некоторое число .
Для того чтобы не нарушился баланс в 3-й строке, вычитаем из величины перевозки, стоящей в клетке (3,2), прибавляем к X12 = 100, вычитаем от X13, прибавляем к X23 и вычитаем от X21, т.е. составляем цикл:
(3,1) → (3,2) → (1,2) → (1,3) → (2,3) → (2,1) → (3,1).
Знаки «+» и «–» в клетках чередуются.
Заметим, что движение от одной клетки к другой происходит только по занятым, кроме первой, в которую проставляется. Максимальное значение равно наименьшему уменьшаемому: = 50. Если взять больше, то получаем отрицательную величину в плане перевозок, а если меньше, то нарушается опорность плана.
Новый опорный план приведен в таблице 4.3
Таблица 6.3
Vj Ui | ||||||||||||||||||||||||
50- | 4 q2 | |||||||||||||||||||||||
100- | 200+ | |||||||||||||||||||||||
–3 | 50+ | 50- |
Итерация 2. Проверяем полученный план X(1) на оптимальность. Находим систему потенциалов; они записаны в таблице слева и сверху. Вычисляем сумму потенциалов для свободных клеток (записаны в левом верхнем углу клетки). Так как
U1 + V4 = 4 > 3,
то план X(1) не является оптимальным. Для построения нового опорного плана проставляем величину в клетку (1,4) и составляем цикл:
(1,4) → (3,4) → (3,1) → (2,1) → (2,3) → (1,3) → (1,4).
Определяем значение = 50, при этом две клетки (1,3) и (3,4) обращаются в нулевые. Следовательно, план Х(2) будет вырожденным. Для дальнейшего решения необходимо оставить нуль в одной из клеток и считать ее за базисную. Целесообразнее нуль оставить в клетке с меньшей стоимостью перевозок, т.е. в клетке (3,4). Новый опорный план приведен в таблице 6.4.
Таблица 6.4
Vj Ui | V1=4 | V2=4 | V3=5 | V4=3 |
U1=0 | 4 5 | 5 6 | ||
U2= -3 | 1 50 | 1 10 | 0 1 | |
U3= -2 | 2 3 | 3 3 | 1 1 |
Итерация 3. Число занятых клеток равно 6. Находим значения потенциалов и их сумму для свободных клеток. Критерий оптимальности выполняется:
Ui +Vj ≤ Cij для Xij = 0; i = 1, m;j = 1, n;
поэтому полученный план является оптимальным:
и f (x*) = 1500.
Пример 6.2. Решить задачу:
Решение. Объем ресурсов: 80 + 60 + 60 = 200 превышает общие потребности 30 + 70 + 60 = 160 на 40 ед., следовательно, ТЗ является задачей открытого типа. Вводим дополнительный (балансовый пункт) потребления с объемом потребностей b4 = 40 и полагаем c14 = c24 = c34 = 0. В результате получаем ТЗ закрытого типа.
Предварительный этап. Находим исходный опорный план методом «минимального элемента» (см. табл. 6.5).
Таблица 6.5
Vj Ui | ||||||||||||
10– | ||||||||||||
–2 | ||||||||||||
20+ | 40– | |||||||||||
–2 | ||||||||||||
Данный план является вырожденным, поэтому ставим «0» – перевозку в клетку с минимальным значением cij, но так, чтобы не образовалось замкнутого маршрута (цикла). В нашем примере c14 = c34 = 0, но занять клетку (1,4) нельзя, так как образуется цикл:
(1,4) → (2,4) → (2,1) → (1,1) → (1,4).
Поэтому ставим «0» в клетку (3,4).
Итерация1. Проверяем план на оптимальность. Положив , находим потенциалы (см. табл. 4.5). Далее находим сумму потенциалов для свободных клеток (они записаны в левом верхнем углу клетки). Так как
;
,
то полученный опорный план неоптимальный. Для клеток (1,4) и (3,1) оценки одинаковы: и , поэтому выбираем любую, например, (1,4). Проставляем в эту клетку и составляем цикл, чередуя знаки «+» и «–»; получим . Новый опорный план представлен в таблице 4.6.
Таблица 6.6
Vj Ui | ||||||||||||
30– | 30+ | |||||||||||
60– |
Итерация 2. Находим систему потенциалов (см. слева и сверху табл. 6.6). Сумма потенциалов для небазисных клеток записана в левом верхнем углу. Критерий оптимальности не выполняется для клетки (3,1):
.
Проставим в эту клетку и составим замкнутую цепочку, в результате получаем . Опорный план представлен в таблице 4.7.
Итерация 3. Найдя систему потенциалов, убеждаемся в оптимальности плана (см. табл. 6.7).
Таблица 6.7
Vj Ui | ||||||||||||
–2 | -2 | |||||||||||
Транспортные издержки составляют 480 и . Так как четвертый потребитель фиктивный, то 10 ед. груза останутся у первого поставщика, 30 ед. – у второго.
Пример 6.3. Методом потенциалов решите следующую ТЗ:
Прочерк между пунктами A2 и B2, A3 и B4 означает, что перевозки между указанными пунктами запрещены.
Проверяем условие баланса:
80 + 320 + 150 = 550 = 250 + 100 + 150 + 50.
Для решения задачи полагаем, что стоимости перевозки единицы груза по запрещенным маршрутам равны достаточно большому числу М > 0. Далее эта М-задача решается обычным методом потенциалов, но потенциалы будут зависеть от коэффициента М. Если оптимальный план М-задачи содержит положительные перевозки по запрещенным маршрутам, то исходная ТЗ неразрешима (множество ее планов пусто). В противном случае получаем решение исходной ТЗ.
Предварительный этап. Составляем методом «минимального элемента» исходный опорный план (табл. 6.8).
Итерация 1. Вычисляем потенциалы и проверяем план на оптимальность (см. таблицу 6.8)
Таблица 6.8
Vj Ui | 10 – M | 7 – M | |||||||||||
10-M | 7-M | ||||||||||||
M – 2 | M | M-1 | |||||||||||
20– | |||||||||||||
12-M | 9-M | M | |||||||||||
80+ | 70– | ||||||||||||
В клетке (2,3) имеем
,
т.е. план не является оптимальным. Проставляем в эту клетку и составляем замкнутый маршрут. Получаем . Опорный план приведен в таблице 4.9
Итерация 2. Проверяем план на оптимальность. Так как для всех свободных клеток:
,
то план – оптимальный и не содержит положительных перевозок по запрещенным маршрутам.
Таблица 6.9
Vj Ui | v1 = 3 | v2 = 2 | v3 = 1 | v4 = 0 | ||||||||
u1 = 0 | ||||||||||||
u2 = 5 | M | |||||||||||
u3 = 2 | M | |||||||||||
Минимальные транспортные расходы составляют 3000.
Определение оптимального плана транспортных задач,
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 1148 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!