Второй этап - решение исходной задачи

Если на первом этапе решение ВЗ закончилось случаем 1 или 2, то можно перейти ко второму этапу - решению исходной задачи.

(3.81)

(3.82)

(3.83)

так как расширенная матрица системы линейных уравнений (3.82) является К-матрицей.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Вернемся к решению задачи из примера в начале темы. Для задачи (3.51)-(3.53) запишем ВЗ:

-(U₁+U₂+U₃) max (3.84)

2X₁+2X₃+4X₄+X₅+U₁=150

X₁+X₂+2X₅+U₂=200 (3.85)

X₁+X₃+2X₆+U₃=300

(3.86)

Результаты первого этапа представлены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

											-1	-1	-1
S	i
			-1												37.5
			-1												-
			-1												-
				-650	-2	-3	-3	-4	-3	-2
				37.5		0.5	0.5		0.25		0.25			-		-
			-1													-
			-1												-
				-500	-2	-1	-1		-2	-2
				37.5		0.5	0.5		0.25		0.25				-
															-
			-1			-1			-2			-1
				-100			-1			-2
				37.5		0.5	0.5		0.25		0.25
						-0.5	0.5		-1			-0.5	0.5

На третьей итерации симплексного метода получен оптимальный план вспомогательной задачи: =(200; 0; 0; 37.5; 0; 50; 0; 0; 0),

в котором ни одна из искусственных переменных не является базисной, следовательно, вектор =(200; 0; 0; 37.5; 0; 50) является невырожденным опорным планом исходной задачи, определяемым К-матрицей.

На втором этапе решаем задачу

max(-0.4X₁-0.3X₂-0.1X₃-0.1X₅-0.2X₆)

.

Решение приведено в табл. 3.7.

Таблица 3.7

					-0.4	-0.3	-0.1		-0.1	-0.2
S	i
				37.5		0.5	0.5		0.25
			-0.4
			-0.2			-0.5	0.5		-1		-
				-90					-0.5
				12.5	-0.125	0.375	0.5
			-0.1		0.5	0.5					-
			-0.2
				-40	0.25	0.25
			-0.1		-0.25	0.75
			-0.1		0.5
			-0.2	137.5	0.625	-0.375		-1
				-100	0.25	0.25

На первой итерации (табл. 3.7.) второго этапа получен оптимальный план исходной задачи ₁=(0; 0; 12.5; 100; 150) и =40.

Так как =0, а вектор не является базисным, то его можно ввести в базис, и при этом в соответствии с формулой (3.28) значение целевой функции не изменится, т.е. на второй итерации можно получить еще один оптимальный план исходной задачи

₂=(0; 0.25; 0; 100; 137.5) и =40.

Исходная задача имеет бесчисленное множество решений, задаваемое формулой (3.87)

Пример 3.15. Решить ЗЛП:

max(2X₁-X₂-X₄)

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄ 18 (3.88)

3X₁+2X₂+X₄ 36

Приведем ЗЛП (3.88) к каноническому виду

max(2X₁-X₂-X₄)

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄- S₁ =18 (3.89)

3X₁+2X₂+X₄-S₂ =36

Расширенная матрица системы линейных уравнений (3.89)

не является К-матрицей ЗЛП (3.89), т.к. не содержит единичной подматрицы.

Запишем вспомогательную задачу для ЗЛП (3.89). Т.к. матрица содержит один единичный вектор =(1; 0; 0), то при формулировке ВЗ достаточно ввести лишь две искусственные переменные U₁;U₂ во второе и третье уравнения системы (3.89).

Итак, ВЗ имеет вид

-(U₁+U₂) max

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄-X₅+U₁=18 (3.90)

3X₁+2X₂+X₄-X₆+U₂=36

; U₁,U₂ 0

Решение ВЗ приведено в табл 3.8.

Таблица 3.8

											-1	-1
S	i
					-1	-2							-
			-1		-2	-1		-2	-1				-
			-1							-1
				-54	-1	-1
										-1
			-1		-0.5			-1.5	-1	-0.5		0.5
					1.5			0.5		-0.5		0.5
				-36	0.5			1.5		0.5		0.5

На первой итерации получен оптимальный план.

=(0; 18; 46; 0; 0; 36; 0).

Т.к. вектор имеет отличную от нуля искусственную переменную U₁=36, то множество планов ЗЛП (3.88) пусто в силу несовместности системы уравнений (3.89).